Ekwazzjoni ta' Schrödinger

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Awstijak/Irlandiż Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni fundamentali fil-Mekkanika kwantistika mhux relativistika. Tiddeskrivi l-evoluzzjoni mal-ħin ta' partiċella massiva mhux relativistika, u tieħu l-post li għandha t-tieni liġi ta' Newton fil-Mekkanika klassika.

Twelid tal-ekwazzjoni

Kuntest storiku

Fil-bidu tas-seklu XX, kien jidher ċar li d-dawl juri d-dwalità mewġa-partiċella, jiġifieri jista' jidher, skont iċ-ċirkostanzi, kemm bħala partiċella, il-foton, u kemm bħala mewġa elettromanjetika. Louis de Broglie imbagħad ippropona li għandna niġġeneralizzaw id-dwalità għall-partiċelli magħrufa kollha allavolja l-ipoteżi kienet ħa toħloq paradoss għall-elettroni li kien ikollhom ikunu jistgħu jagħmlu interferenza bħad-dawl, ħaġa li ġiet verifikata wara mill-esperiment ta' Davisson-Germer. Bl-istess mod bħal fil-każ tal-foton, Louis de Broglie assoċja ma' kull partiċella ħielsa ta' enerġija $\displaystyle {E}$ u momentu $\displaystyle {p}$ frekwenza $\displaystyle {\nu }$ u tul tal-mewġa $\displaystyle {\lambda }$ :

$\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p=h/\lambda \end{matrix}}\right.$.

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni tal-mewġa li tiġġeneralizza l-approċċ ta' de Broglie li rajna hawn fuq għall-partiċelli massivi mhux relativistiċi li hemm fuqhom forza mnissla minn potenzjal u li l-enerġija mekkanika totali tagħhom hi klassikament:

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$.

L-ekwazzjoni, imnissla minn din l-estensjoni permezz tal-prinċipju tal-korrispondenza, kellha suċċess minnufih billi biha setgħu jikkalkulaw il-livelli kwantifikati tal-enerġija tal-elettron fl-atomu tal-idroġenu u jispjegaw l-ispettru tal-idroġenu : is-serji ta' Lyman, Balmer, Brackett, Paschen, eċċ.

L-interpretazzjoni fiżika korretta tal-funzjoni ta' Schrödinger ingħatat fl-1926 minn Max Born. Minħabba l-karattru probabilistiku li daħħlet, il-mekkanika ondulatorja ta' Schrödinger fil-bidu intlaqgħet bis-suspett minn ċerti fiżiċi magħrufin bħal Albert Einstein, li għalih "Alla ma jilgħabx bid-dammi".

Id-derivazzjoni ta' Schrödinger

Id-derivazzjoni tiegħu Schrödinger ibbażaha fuq analoġija formali bejn l-ottika u l-mekkanika:

• Fl-ottika ondulatorja, l-ekwazzjoni tal-propagazzjoni f'materjal trasparenti ta' indiċi reali n li jinbidel bil-mod fuq l-iskala tat-tul tal-mewġa, twassal – sakemm wieħed jkun qiegħed ifittex soluzzjoni monokromatika li l-ampjezza tagħha tvarja bil-mod ħafna mal-fażi – għal ekwazzjoni approssima li tissejjaħ l-ekwazzjoni eikonali. Din hija l-approssimazzjoni tal-ottika ġeometrika, li magħha nassoċjaw il-prinċipju varjazzjonali ta' Fermat.

• Fil-formulazzjoni Hamiltonjana, hemm ekwazzjoni msejħa l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. Għal partiċella massiva mhux relativistika li fuqha hemm forza mnissla minn potenzjal, l-enerġija mekkanika totali hi kostanti u l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi għall-"funzjoni karatteristika ta' Hamilton" tixbaħ formalment l-ekwazzjoni eikonali (il-prinċipju varjazzjonali użat hawn hu l-prinċipju tal-inqas azzjoni.)

Din l-analoġija induna biha Hamilton fl-1843, imma dan ma kellux għalfejn jiddubita l-validità tal-mekkanika klassika. Wara li De Broglie ħareġ bl-ipoteżi tiegħu fl-1923, Schrödinger qal lilu nnifsu  : la l-ekwazzjoni eikonali hija approssimazzjoni tal-ekwazzjoni tal-mewġa fl-ottika ondulatorja, għaliex ma nfittxux l-ekwazzjoni tal-mewġa fil-"mekkanika ondulatorja" li l-approssimazzjoni tagħha tkun l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. U hekk għamel, l-ewwel għal mewġa stazzjonarja (E = kostanti), u mbagħad għal liema mewġa tkun kif tkun.

Rimarka : Schrödinger kien beda jittratta l-każ ta' partiċella relativistika – kif kien għamel De Broglie qablu. Kien kiseb l-ekwazzjoni li llum tissejjaħ bl-isem l-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, imma meta sab li l-applikazzjoni tiegħu għall-każ tal-potenzjal Coulombjan tagħti livelli tal-enerġija li ma jaqblux mar-riżultati tal-esperimenti għall-atomu tal-idroġenu, reġa' ntefa' fuq il-każ mhux relativistiku, bis-suċċess li jaf kulħadd.

Derivazzjoni elementari

 

Ladarba nkunu waqqafna l-anoloġija bejn l-ottika u l-mekkanika Hamiltonjana, il-bqija tad-derivazzjoni hi ħafifa. L-ekwazzjoni li tissodisfa l-ampjezza spazjali ta' mewġa monokromatika ta' frekwenza $\omega$ f'materjal ta' indiċi n li tvarja bilmod nistgħu niktbuha hekk:

$(\Delta \ +\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}})\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Nintroduċu n-numru tal-mewġa k f'materjal ta' indiċi n:

$k^{2}\ =\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Imbagħad niksbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz :

$(\Delta \ +\ k^{2})\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Niddefinixxu t-tul tal-mewġa f'materjal :$\lambda =2\pi /k$ u nerġgħu niktbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz hekk :

$\left(\,\Delta \ +\ {\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,\right)\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Imbagħad nistgħu nużaw ir-relazzjoni ta' de Broglie għall-partiċella mhux relativistika, li għaliha il-momentu hu p = m v  :

$\lambda \ =\ {\frac {h}{mv}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\ =\ {\frac {m^{2}\,v^{2}}{h^{2}}}$

Issa, l-enerġija ċinetika għall-partiċella mhux relativistika hi :

${\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}\ =\ E\ -\ V({\vec {r}})$

u minha niksbu l-ekwazzjoni ta' Schrödinger stazzjonarja :

$\left[\,\Delta \ +\ {\frac {8\pi ^{2}m}{h^{2}}}\,\left(\,E\ -\ V({\vec {r}})\,\right)\ \right]\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Nintroduċu l-kwantu ta' azzjoni $\hbar =h/2\pi$ u l-ekwazzjoni npoġguha fil-forma formali :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}})\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}})\ =\ E\,\psi ({\vec {r}})$

Baqgħalna nerġgħu nintroduċu il-ħin t biex nuru d-dipendenza ta' mewġa monkromatika. Nużaw ir-relazzjoni ta' Planck-Einstein $E=\hbar \omega$ u niksbu:

$\psi ({\vec {r}},t)\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \mathrm {e} ^{-\,i\,\omega \,t}\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \exp \left(-\,{\frac {i\,E\,t}{\hbar }}\right)$

Fl-aħħar niksbu l-ekwazzjoni ġenerali ta' Schrödinger:

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}},t)\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}},t)\ =\ i\,\hbar \ {\frac {\partial \psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}$

Formulazzjoni moderna tal-ekwazzjoni

Fil-mekkanika kwantistika, l-istat fil-mument t ta' sistema niddeskrivuha b'element $\left|\Psi (t)\right\rangle$ tal-ispazju ta' Hilbert kompless — nużaw in-notazzjoni bra-ket ta' Paul Dirac. $\left|\Psi (t)\right\rangle$ tirrappreżenta l-probabbilità tar-riżultati ta' kull kejl possibbli fuq is-sistema.

L-evoluzzjoni temporali ta' $\left|\Psi (t)\right\rangle$ niddeskrivuha bl-ekwazzjoni ta' Schrödinger :

$\mathbf {\hat {H}} \left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\frac {{\hat {\vec {\mathbf {p} }}}^{2}}{2m}}\left|\Psi (t)\right\rangle +V({\hat {\vec {\mathbf {r} }}},t)\left|\Psi (t)\right\rangle$

fejn

• $\displaystyle {i}$ hu radiċi ta' $\displaystyle {-1}$;
• $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ fejn $\displaystyle {h}$ hu l-kostanti ta' Planck ;
• ${\hat {H}}\,$ hu l-Hamiltonjan, li inġenerali jiddependi mill-ħin, l-osservabbli li jikkorrespondi għall-enerġija totali tas-sistema ;
• ${\hat {\vec {\mathbf {r} }}}\,$ hu l-osservabbli pożizzjoni ;
• ${\hat {\vec {\mathbf {p} }}}\,$ hu l-osservabbli momentu.

Bil-kontra għall-ekwazzjonijiet ta' Maxwell li jagħtu l-evoluzzjoni tal-mewġ elettromanjetiċi, l-ekwazzjoni ta' Schrödinger mhijiex relativistika. Din l-ekwazzjoni kienet postulat. Ġiet aċċettata bħala korretta wara li Davisson u Germer bl-esperimenti tagħhom kienu kkonfirmaw l-ipoteżi ta' Louis ta' Broglie.

Riżoluzzjoni tal-ekwazzjoni

Billi l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni vettorjali, nistgħu niktbuha b'mod ekwivalenti f'bażi partikulari tal-ispazju tal-istati. Jekk pereżempju nagħżlu l-bażi $\left|{\vec {r}}\right\rangle$ li tikkorrispondi mar-rappreżentazzjoni tal-pożizzjoni ddefinita hekk

${\hat {\vec {\mathbf {r} }}}\left|{\vec {r}}\right\rangle ={\vec {r}}\left|{\vec {r}}\right\rangle$

imbagħad il-funzjoni tal-mewġa $\Psi (t,{\vec {r}})\equiv \left\langle {\vec {r}}\right|\left.\Psi (t)\right\rangle \,$tissodisfa l-ekwazzjoni li ġejja

$i\hbar {\partial \Psi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\overrightarrow {\nabla }}^{2}\Psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}},t)\Psi (t,{\vec {r}})$

fejn ${\overrightarrow {\nabla }}^{2}\,$ hi l-Laplacjana.

F'din il-forma nistgħu naraw li l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni lineari bid-derivati parzjali u allura nistgħu niktbu s-soluzzjoni ġenerali tagħha bħala s-somma ta' soluzzjonijiet partikulari. L-ekwazzjoni fil-parti l-kbira tal-każi hi kkomplikata wisq biex ikollha soluzzjoni analitika u għalhekk ikollna nfittxu soluzzjoni approssima jew numerika.

Tfittxija għall-awtostati

Bill l-operaturi li jidhru fl-ekwazzjoni ta' Schrödinger huma operaturi lineari, kull kumbinazzjoni lineari ta' soluzzjonijiet hi soluzzjoni tal-ekwazzjoni. Għalhekk nikkonċentraw fuq it-tfittxija għal soluzzjoniet li hemm interess kbir fihom għar-raġunijiet teoretiċi u prattiċi, l-istati li huma awtostati tal-operatur Hamiltonjan:

$H|\varphi _{n}\rangle =E_{n}|\varphi _{n}\rangle$.

L-awtostat $\ |\varphi _{n}\rangle$ hu assoċjat mal-awtovalur skalari reali$\ E_{n}$ , l-enerġija tal-partiċella li għandha $|\varphi _{n}\rangle$ bħala stat. Din l-ekwazzjoni xi minn daqqiet tissejjaħ l-ekwazzjoni ta' Schrödinger indipendenti mill-ħin.

Il-valuri tal-enerġija jistgħu jkunu diskreti bħas-soluzzjonijiet fil-każ ta' bir ta' potenzjal (pereż. il-livelli tal-atomu tal-idroġenu); dawn jirriżultaw fil-kwantifikazzjoni tal-livelli tal-enerġija. Jistgħu ukoll jagħtu spettru kontinwu bħal meta l-partiċella jkollha biżżejjed enerġija biex titbiegħed għall-infinit (pereż. elettron li għandu biżżejjed enerġija biex jaħrab min-nukleu tal-idroġenu).

Spiss jiġri li bosta stati$\ |\varphi _{n}\rangle$ jikkorispondu mal-istess valur tal-enerġija: f'dan il-każ ngħidu li l-livell tal-enerġija hu deġenerat.

B'mod ġenerali awtostat tal-Hamiltonjan, $\ |\varphi _{n}\rangle$, u l-enerġija assoċjata miegħu, jagħti soluzzjoni stazzjonarju tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger (li tiddependi mill-ħin) :

$|\psi _{n}(t)\rangle \,=\,|\varphi _{n}\rangle \,e^{\left({\frac {-iE_{n}t}{\hbar }}\right)}.$

Mela s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger nistgħu niktbuha bħala kumbinazzjoni lineari ta' stati bħal dawn:

$|\psi (t)\rangle \,=\,\sum _{n}c_{n}|\varphi _{n}\rangle e^{\left({\frac {-iE_{n}t}{\hbar }}\right)}.$

Skont il-postulati tal-Mekkanika kwantistika,

• il-kwantità skalari komplessa$\ c_{n}$ hi l-ampjezza tal-istat$\ \psi (t)$ fuq l-istat $\ \varphi _{n}$;
• in-numru reali $\ |c_{n}|^{2}$ hu l-probabbiltà (fil-każ ta' spettru diskret) li nsibu enerġija$\ E_{n}$ meta nkejlu l-enerġija tas-sistema.

Soluzzjonijet analitiċi eżatti

It-tfittixija għall-awtostati tal-Hamiltonjan hi, inġenerali, komplessa ħafna. Anki l-każ tal-atomu tal-idroġenu li nistgħu nirriżolvuh analitikament, ma nistgħux niktbuh f'forma sempliċi jekk ma nħallux barra r-rabta mal-kamp elettromanjettiku li tippermetti l-istati eċċitati, is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni de Schrödinger tal-atomu, li jgħaddu għall-istat fundamentali.

Nistgħu nsibu soluzzjonijiet analitiċi għal xi mudelli sempliċi li għalkemm ma jaqblux mar-realtà nstabu utli ħafna:

• partiċella ħielsa (potenzjal null);
• oxxillatur armoniku (potenzjal kwadratiku);
• partiċella li timxi f'ċirku;
• partiċella f'bir ta'potenzjal rettangulari;
• partiċella f'gwida tal-mewġ anulari ;
• partiċella f'potenzjal b'simetrija sferika;
• partiċella f'xibka unidimensjonali (potenzjal perjodiku).

Fil-każi l-oħra jkollna nirrikorru għal diversi metodi ta' approssimazzjoni:

• it-teorija tal-perturbazzjonijiet tagħti espressjonijiet analitiċi f'forma ta' żvilupp asintotiku madwar problema mhux perturbat li hu eżattament riżolvibbli.
• l-analiżi numerika tippermettielna nistudjaw sitwazzjonijiet li ma nistgħux nilħquhom bit-teorija tal-perturbazzjonijiet.

Ġeneralizzazzjoni tal-ekwazzjoni

Il-ġeneralizzazzjoni għall-qasam relativistiku twassal għall-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, u mbagħad għall-ekwazzjoni ta' Dirac; din tal-aħħar tistabilixxi b'mod naturali l-eżistenza tal-ispin u tal-antipartiċelli. Madankollu ma teżistix interpretazzjoni koerenti għalkollox ta' dawn l-ekwazzjonijiet relativistiċi tal-mewġa fil-forma ta' teorija li tiddeskrivi partiċella waħda u għalhekk it-teorija kwantistika relativistika rridu nqegħduha fit-teorija kwantistika tal-kampi.

Bibljografija

• Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik vol. 79, 1926, pp. 361, 489, 734, u Vol 81, p. 109, 1926.
• Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics ir-4 edizzjoni, Oxford University Press, 1958.
• Erwin Schrödinger, "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" Physical. Review, Vol 28 p. 1049, 1926.

Ara wkoll

Portal Matematika

• Erwin Schrödinger
• Mekkanika kwantistika