Derivata

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni $\displaystyle {f}$ f' punt $\displaystyle {x_{0}}$ hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt $\displaystyle {(x_{0},f(x_{0}))}$, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' $\displaystyle {x}$. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali $\displaystyle {f}$ fil-punt $\displaystyle {x_{0}}$ hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement $\displaystyle {h}$ jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni $\displaystyle {f}$ definita f'inħawija ta' $\displaystyle {x_{0}}$ ngħidu li hi derivabbli fil-punt $\displaystyle {x_{0}}$ jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

${\mathop {\lim _{h\to 0}} {{f\left({x_{0}+h}\right)-f\left(x_{0}\right)} \over h}}$

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'$\displaystyle {f^{\prime }(x_{0})}$, ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt $\displaystyle {x_{0}}$. Jekk il-funzjoni $\displaystyle {f}$ hi derivabbli f'kull punt tal-intervall $\displaystyle {(a,b)}$, ngħidu li hi derivabbli f'$\displaystyle {(a,b)}$, u l- funzjoni $\displaystyle {f^{\prime }}$ li tassoċja ma' kull punt $\displaystyle {x}$ id-derivata ta' $\displaystyle {f}$ f' $\displaystyle {x}$, insejħulha l-funzjoni derivata ta' $\displaystyle {f}$.

Id-derivata fil-punt $x_{0}$ nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

• $f^{\prime }(x_{0}),$ skont in-notazzjoni ta' Lagrange.

• $\operatorname {D} [{f}({x_{0}})],$ skont in-notazzjoni ta' Cauchy.

• ${\operatorname {d} f(x_{0})} \over {\operatorname {d} x},$ skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi $({{\operatorname {d} f} \over {\operatorname {d} x}})_{(x_{0})},$ .

• ${\dot {f}}(x_{0}),$ skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' $\displaystyle {f}$ f'$\displaystyle {x_{0}}$ il-limitu:

$\lim _{h\to 0^{+}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}$

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' $\displaystyle {f}$ f'$\displaystyle {x_{0}}$ il-limitu:

$\lim _{h\to 0^{-}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}$

Funzjoni hi derivabbli f'$\displaystyle {x}$ jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk $\displaystyle {f}$ hi definita f'l-intervall magħluq $\displaystyle {[a,b]}$, ngħidu li $\displaystyle {f}$ hi derivabbli f'$\displaystyle {[a,b]}$ jekk hi derivabbli f'kull punt intern $\displaystyle {x}$ ta' $\displaystyle {(a,b)}$, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf $\displaystyle {x=a}$ u $\displaystyle {x=b}$.

Tifsira ġometrika tad-derivata

Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni f(x) fil-punt x₀

Il-valur tad-derivata ta' $f$ ikkalkulat f'$x_{0}$ għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' $f$, fil-punt bil-koordinati $(x_{0},\,f(x_{0}))$.

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt $(x_{0},\,f(x_{0}))$ tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'$x_{0}$ hija:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).\;$

Iżjed preċiż, jekk $f$ hi derivabbli fil-punt $x_{0}$, teżisti funzjoni $o(x-x_{0})$ definita f'inħawija ta' $x_{0}$ tali li:

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})\;$

fejn

$\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=0.$

Ngħidu li $\displaystyle {o(x-x_{0}})$ hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni $x-x_{0}$. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini $o(x-x_{0})$ jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn $x_{0}$.

Niddefinixxu $\displaystyle {o(x-x_{0})}$ b'l-istess dominju ta' $f$, bħala:

$\displaystyle {o(x-x_{0})=f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})(x-x_{0})}$

u nivverifikaw li:

$\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left({{f(x)-f(x_{0})} \over {x-x_{0}}}-f'(x_{0})\right).\ \ \ (1)$

Niftakru li għal :$x\to x_{0}$ għandna :$x-x_{0}\to 0$ mela :$h=x-x_{0}.$

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

$\lim _{h\to 0}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}-f'(x_{0})=0$

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk $f$ tkun derivabbli f'$x_{0}$ imbagħad tkun ukoll kontinwa f'$x_{0}$.

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni $f(x)=|x|$ hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt $x=0$, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

$\displaystyle {f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}$

minn fejn niksbu:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}\left({f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}=f(x_{0})\right).$

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'$x_{0}$.

Funzjonijiet mhux derivabbli

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

• punt angoluż,
• kuspidi jew qarsa,
• fless bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L-$n$-il Derivata

L-"$\displaystyle {n}$ -il derivata", $\displaystyle {f^{(n)}}$, ta' funzjoni $\displaystyle {f}$ hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni $\displaystyle {n}$ darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

$f''=f^{(2)}={{\mathrm {d} ^{2}f} \over {\mathrm {d} x^{2}}},$

$f'''=f^{(3)}={{\mathrm {d} ^{3}f} \over {\mathrm {d} x^{3}}},$,

...

$f^{(n)}={{\mathrm {d} ^{n}f} \over {\mathrm {d} x^{n}}}$

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli $\displaystyle {n}$-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

$\displaystyle {f(x)=x|x|}.$

Infatti id-derivata ta' $f$ hi $f\,'(x)=2|x|$, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' Fermat

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni $\displaystyle {f}$ tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt $\displaystyle {x_{0}}$ fl-intern tad-dominju ta' $\displaystyle {f}$ li jkun punt massimu jew minimu tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' $\displaystyle {x_{0}}$ tkun nulla, jiġifieri $\displaystyle {f^{\prime }(x_{0})=0}$.

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt $\displaystyle {x}$ fejn $\displaystyle {f^{\prime }(x)}$ hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

• hu neċessarju li $\displaystyle {x_{0}}$ tkun punt ġewwieni tad-dominju
• il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt $\displaystyle {x_{0}}$, inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li $\displaystyle {x_{0}}$ hu punt ta' massimu u għalhekk $\displaystyle {f(x_{0})}$ hu valur massimu tal-funzjoni f' $\displaystyle {(a,b)}$; il-prova hija l-istess fil-każ li $\displaystyle {x_{0}}$ jkun punt ta' minimu għal $\displaystyle {f}$.
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali: ${{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}.$
In-numeratur $f(x)-f(x_{0})\leq 0\ \forall x\in (a,b)$ għaliex, bl-ipoteżi, $\displaystyle {x_{0}}$ hu punt ta' massimu u għalhekk $f(x_{0})\geq f(x)\ \forall x\in (a,b)$.

Mela nistgħu ngħidu li :

• ${{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\geq 0$ jekk $\displaystyle {x<x_{0}}$, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  
• ${{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\leq 0$ jekk $\displaystyle {x>x_{0}}$, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.
  

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li:

• $f'(x_{0}^{-})=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\geq 0,$
  
• $f'(x_{0}^{+})=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\leq 0.$
  

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni $\displaystyle {f}$ hi derivabbli f' $\displaystyle {x_{0}}$ u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'$\displaystyle {x_{0}}$ jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin $\leq 0$ u $\geq 0$, u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Rolle

Teorema: Teorema ta' Rolle

Ħalli $\displaystyle {f}$ tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq $\displaystyle {[a,b]}$ u derivabbli fl-intervall miftuħ $\displaystyle {(a,b)}$. Jekk $\displaystyle {f(a)=f(b)}$,imbagħad jeżisti punt $\displaystyle {x_{0}}$ ġewwa l-intervall miftuħ $\displaystyle {(a,b)}$ fejn l-ewwel derivata tkun nulla, $\displaystyle {f^{\prime }(x_{0})=0}$.

Teorema ta' Lagrange

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli $\displaystyle {f}$ tkun funzjoni kontinwa f' $\displaystyle {[a,b]}$ u derivabbli f' $\displaystyle {(a,b)}$, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed $\displaystyle {x_{0}}$ ġewwa $\displaystyle {(a,b)}$ li għalih:

$f'(x_{0})={{f(b)-f(a)} \over {b-a}}.$

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, $(x_{0},\,f(x_{0}))$, fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti $(a,\,f(a))$ u $(b,\,f(b))$.

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn $\displaystyle {f(a)}$ hi differenti minn $\displaystyle {f(b)}$; jekk $\displaystyle {f(a)}$ hi daqs $\displaystyle {f(b)}$ nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' Cauchy

Teorema: Teorema ta' Cauchy

Ħalli $\displaystyle {f}$ u $\displaystyle {g}$ jkunu funzjonijiet kontinwi f' $\displaystyle {[a,b]}$ u derivabili f' $\displaystyle {(a,b)}$ u $\displaystyle {g(x)}$ differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed $\displaystyle {x_{0}}$ li qiegħed f' $\displaystyle {(a,b})$ li għalih:

${f'(x_{0}) \over g'(x_{0})}={{f(b)-f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.$

Jekk inpoġġu $\displaystyle {g(x)=x}$, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk $\displaystyle {f}$ tkun kontinwa f' $\displaystyle {[a,b]}$ u derivabbli f' $\displaystyle {(a,b)}$, imbagħad :

• $\forall x\in (a,b)\ f'(x)\geq 0$ jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' $\displaystyle {(a,b)}$,

• $\forall x\in (a,b)\ f'(x)\leq 0$ jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' $\displaystyle {(a,b)}$.

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

• Jekk $\forall x\in (a,b)\ f'(x)>0$, il-funzjoni tiżdied strettament f' $\displaystyle {(a,b)}$

• Jekk $\forall x\in (a,b)\ f'(x)<0$, il-funzjoni tonqos strettament f' $\displaystyle {(a,b)}$

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

$\displaystyle {f(x)=x^{3}}$

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Teorema tal-funzjoni kostanti

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi kostanti fl-intervall $\displaystyle {[a,b]}$ jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt $\ x$ jekk jeżisti u hu finit il-limitu

$\mathbf {f} '(x)=\lim _{h\to 0}{{\mathbf {f} (x+h)-\mathbf {f} (x)} \over {h}}.$

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' $\ f$ hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

$\mathbf {f} '(x)=(f'_{1}(x),f'_{2}(x),...,f'_{n}(x))$.

Derivabbiltà f'$\ {\mathbb {R} ^{\rm {n}}}$

Funzjoni $\,f$ ngħidulha derivabbli f'$\ {\mathbb {R} ^{\rm {n}}}$ jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

Konvessità

Ħalli $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni $\ f$ hi:

• konvessa f' $\ [a,b]$ jekk $\forall x_{0}\in [a,b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $\ [a,b]$ jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt $\ (x_{0},\,f(x_{0}))$.

Bis-simboli:

$f(x)\geq f(x_{0})+f'(x)(x-x_{0})\ \forall x,x_{0}\in [a,b].$

• konkava f' $\ [a,b]$ jekk $\forall x_{0}\in [a,b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $\ [a,b]$ jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt $\ (x_{0},\,f(x_{0}))$.

Bis-simboli:

$f(x)\leq f(x_{0})+f'(x)(x-x_{0})\ \forall x,x_{0}\in [a,b].$

Derivata ta' serje ta' potenzi

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}$ b' raġġ ta' konvergenza $\ r$, hi derivabbli fuq l-intervall $(-r,\,r)$ kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

$f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}$

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formali

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur $\partial$ li jissodisfa:

• $\partial (u+v)=\partial u+\partial v$ (l-operazzjoni hi linjari)
• $\partial (u\cdot v)=u\cdot \partial v+\partial u\cdot v$ (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.

Portal Matematika