Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni f' punt hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt , jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' . Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoniImmodifika

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali   fil-punt   hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement   jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni   definita f'inħawija ta'   ngħidu li hi derivabbli fil-punt   jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

 

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b' , ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt  . Jekk il-funzjoni   hi derivabbli f'kull punt tal-intervall  , ngħidu li hi derivabbli f' , u l- funzjoni   li tassoċja ma' kull punt   id-derivata ta'   f'  , insejħulha l-funzjoni derivata ta'  .

Id-derivata fil-punt   nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

  •   skont in-notazzjoni ta' Lagrange.
  •   skont in-notazzjoni ta' Cauchy.
  •   skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi   .
  •   skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellugImmodifika

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta'   f'  il-limitu:

 

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta'   f'  il-limitu:

 

Funzjoni hi derivabbli f'  jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk   hi definita f'l-intervall magħluq  , ngħidu li   hi derivabbli f'  jekk hi derivabbli f'kull punt intern   ta'  , u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf   u  .

Tifsira ġometrika tad-derivataImmodifika

 
Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni f(x) fil-punt x0

Il-valur tad-derivata ta'   ikkalkulat f'  għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta'  , fil-punt bil-koordinati  .

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt   tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'  hija:

 

Iżjed preċiż, jekk   hi derivabbli fil-punt  , teżisti funzjoni   definita f'inħawija ta'   tali li:

 

fejn

 

Ngħidu li   hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni  . B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini   jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn  .


Niddefinixxu   b'l-istess dominju ta'  , bħala:

 

u nivverifikaw li:

 

Niftakru li għal :  għandna :  mela : 

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

 

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwitàImmodifika

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk   tkun derivabbli f'  imbagħad tkun ukoll kontinwa f' .

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni   hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt  , għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

 

minn fejn niksbu:

 

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f' .

Funzjonijiet mhux derivabbliImmodifika

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L--il DerivataImmodifika

L-"  -il derivata",  , ta' funzjoni   hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni   darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

 
 ,
...
 

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli  -il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

 

Infatti id-derivata ta'   hi  , li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

TeoremiImmodifika

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' FermatImmodifika

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni   tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt   fl-intern tad-dominju ta'   li jkun punt massimu jew minimu tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f'   tkun nulla, jiġifieri  .

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt   fejn   hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

  • hu neċessarju li   tkun punt ġewwieni tad-dominju
  • il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt  , inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li   hu punt ta' massimu u għalhekk   hu valur massimu tal-funzjoni f'  ; il-prova hija l-istess fil-każ li   jkun punt ta' minimu għal  .
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali:  
In-numeratur   għaliex, bl-ipoteżi,   hu punt ta' massimu u għalhekk  .

Mela nistgħu ngħidu li :

  •   jekk  , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  •   jekk  , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li:

  •  
  •  

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni   hi derivabbli f'   u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'  jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin   u  , u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' RolleImmodifika

Teorema: Teorema ta' Rolle
Ħalli   tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq   u derivabbli fl-intervall miftuħ  . Jekk  ,imbagħad jeżisti punt   ġewwa l-intervall miftuħ   fejn l-ewwel derivata tkun nulla,  .

Teorema ta' LagrangeImmodifika

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli   tkun funzjoni kontinwa f'   u derivabbli f'  , imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed   ġewwa   li għalih:

 

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni,  , fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti   u  .

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn   hi differenti minn  ; jekk   hi daqs   nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' CauchyImmodifika

Teorema: Teorema ta' Cauchy
Ħalli   u   jkunu funzjonijiet kontinwi f'   u derivabili f'   u   differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed   li qiegħed f'   li għalih:

 

Jekk inpoġġu  , niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqisImmodifika

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk   tkun kontinwa f'   u derivabbli f'  , imbagħad :

  •   jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f'  ,
  •   jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f'  .

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

  • Jekk  , il-funzjoni tiżdied strettament f'  
  • Jekk  , il-funzjoni tonqos strettament f'  

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

 

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Teorema tal-funzjoni kostantiImmodifika

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi kostanti fl-intervall   jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

Derivata ta' funzjonijiet vettorjaliImmodifika

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt   jekk jeżisti u hu finit il-limitu

 

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta'   hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

 .

Derivabbiltà f'Immodifika

Funzjoni   ngħidulha derivabbli f'  jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

KonvessitàImmodifika

Ħalli   tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni   hi:

  • konvessa f'   jekk   il-grafiku tal-funzjoni f'   jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt  .

Bis-simboli:

 

  • konkava f'   jekk   il-grafiku tal-funzjoni f'   jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt  .

Bis-simboli:

 

Derivata ta' serje ta' potenziImmodifika

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi   b' raġġ ta' konvergenza  , hi derivabbli fuq l-intervall   kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

 

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formaliImmodifika

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur   li jissodisfa:

  •   (l-operazzjoni hi linjari)
  •   (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.