Iftaħ il-menu prinċipali
Funzjoni.jpg

Fil-matematika, funzjoni minn għal hi magħmula minn:

1) sett imsejjaħ id-dominju ta'

2) sett imsejjaħ il-kodominju ta’

3) liġi li ma' kull element f' tassoċja element wieħed u wieħed biss f' .

jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti.

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":
"applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

EżempjiImmodifika

L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati   ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura   u l-pressjoni   ta’ l-arja. F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna   , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja   .

DefinizzjoniImmodifika

Mogħtija s-settijiet   u  , sottosett   tal-prodott Carteżjan   insejħulu funzjoni minn   għal  , jekk għal kull  , jeżisti element wieħed u wieħed biss   tali  . Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’  : fi kliem ieħor, minflok niktbu   nistgħu nużaw il-kitba tradizzjonali  .

Il-fatt li   hija funzjoni minn   għal   li tassoċja ma’   l-element   nistgħu nuruh billi niktbu:

 

Is-sett   (li minnu l-funzjoni   "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni  , waqt li s-sett   (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni  ) hu l-kodomiju tal-funzjoni  .

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, tittrasformah fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu trasformazzjoni.

Is-sett

 

mogħti mill-elementi   tal-kodominju li għalihom jeżisti   fid-dominju li tittrasfoma f’   ngħidulu l-immaġini ta’   u niddenotawh b’ Im  jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b'  .

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini.

Definizzjoni alternattivaImmodifika

Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża:

Funzjoni hija terna ordnata  , fejn   hu sett,   hu sett ieħor, u   hu tali  

Operazzjonijiet fuq il-funzjonijietImmodifika

Jekk ikollna żewġ funzjonijiet   :   →   u   :   →   nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’   fuq   u mbagħad l-applikazzjoni ta’   fuq ir-riżultat  .

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’  . Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

 

Notazzjonijiet għall-funzjonijietImmodifika

Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni   li jikkorrispondi ma’ element  , iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’ :

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni prefissa niktbu:

  .

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni suffissa niktbu:

  .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet   u   jistgħu jinkitbu f’4 modi:

  ,
  ,
  ,
  .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:

  .

B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjedImmodifika

Meta d-dominju ta' funzjoni   ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja   nuruha bin-notazzjoni

 

allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu  . F'dal-kaz il-funzjoni   tissejjaħ funzjoni ta’ żewġ varjabbli.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom:  . Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju  , is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

Funzjonijiet ta’ iżjed valuriImmodifika

Jekk il-kodominju ta’ funzjoni   hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali.

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju:

 .

Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni

 

li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

Operazzjonijiet binarjiImmodifika

Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan   għal  , u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu   (u mhux  ) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja   bl-operazzjoni  .

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta’ grupp, bħala sett   mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

KlassifikazzjoniImmodifika

Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijietImmodifika

Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominjuImmodifika

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbiliàImmodifika

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmaliImmodifika

Xi funzjonijiet magħrufaImmodifika

Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistikuImmodifika