Funzjonijiet (matematika)

Fil-matematika, funzjoni $\ f$ minn $\ X$ għal $\ Y$ hi magħmula minn:

1) sett $\ X$ imsejjaħ id-dominju ta' $\ f$

2) sett $\ Y$ imsejjaħ il-kodominju ta’ $\ f$

3) liġi li ma' kull element $\ x$ f' $\ X$ tassoċja element wieħed u wieħed biss $\ f(x)$ f' $\ Y$.

$\ x$ jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li $\ f(x)$ huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti.

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":
"applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

Eżempji

L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati $\ x,y,z$ ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura $\ T$ u l-pressjoni $P$ ta’ l-arja. F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna $\ (x,y,z)$ , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja $\ (T,P)$ .

Definizzjoni

Mogħtija s-settijiet $\ X$ u $\ Y$, sottosett $\ f$ tal-prodott Carteżjan $\ X\times Y$ insejħulu funzjoni minn $\ X$ għal $\ Y$, jekk għal kull $\ x\in X\;$, jeżisti element wieħed u wieħed biss $\ y\in Y\;$ tali $\ (x,y)\in f$. Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ $\ f(x)$: fi kliem ieħor, minflok niktbu $\ (x,y)\in f$ nistgħu nużaw il-kitba tradizzjonali $\ y=f(x)\;$.

Il-fatt li $\ f$ hija funzjoni minn $\ X$ għal $\ Y$ li tassoċja ma’ $\ x$ l-element $\ f(x)$ nistgħu nuruh billi niktbu:

${\begin{matrix}f:&X&\rightarrow &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}}$

Is-sett $\ X$ (li minnu l-funzjoni $\ f$ "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni $\ f$, waqt li s-sett $\ Y$ (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni $\ f$) hu l-kodomiju tal-funzjoni $\ f$.

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, tittrasformah fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu trasformazzjoni.

Is-sett

$\{y\in Y|\exists x\in X|y=f(x)\},$

mogħti mill-elementi $\ y$ tal-kodominju li għalihom jeżisti $\ x$ fid-dominju li tittrasfoma f’ $\ y$ ngħidulu l-immaġini ta’ $\ f$ u niddenotawh b’ Im$\,(f)$ jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' $\ f(X)$.

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini.

Definizzjoni alternattiva

Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża:

Funzjoni hija terna ordnata $\ (A,B,f)$, fejn $\ A$ hu sett, $\ B$ hu sett ieħor, u $\ f\subseteq A\times B\$ hu tali $\ \forall a\in A\;\ \exists {\text{!}}b\in B\ |\ (a,b)\in f$

Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet

Jekk ikollna żewġ funzjonijiet $\ f$ : $\ X$ → $\ Y$ u $\ g$ : $\ Y$ → $\ Z$ nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’ $\ f$ fuq $\ x$ u mbagħad l-applikazzjoni ta’ $\ g$ fuq ir-riżultat $\ f(x)$.

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ $\ g\circ f$. Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

$\,(g\circ f)(x)=g[f(x)]\,$

Notazzjonijiet għall-funzjonijiet

Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni $\ F$ li jikkorrispondi ma’ element $\ x$, iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’$\ F(x)$:

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni prefissa niktbu:

$\,Fx:=F(x)\,$ .

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni suffissa niktbu:

$\,xF:=F(x)\,$ .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet $\ F$ u $\ G$ jistgħu jinkitbu f’4 modi:

$\,(F\circ G)x=G(Fx)\,$ ,

$\,(F\circ G)x=F(Gx)\,$ ,

$\,x(F\circ G)=(xF)G\,$ ,

$\,x(F\circ G)=(xG)F\,$ .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:

$\,F[x]=F(x)\,$ .

B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed

Meta d-dominju ta' funzjoni $\ f$ ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja $\ (x,y)$ nuruha bin-notazzjoni

$\ f(x,y)$

allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu $\ f((x,y))$. F'dal-kaz il-funzjoni $\ f$ tissejjaħ funzjoni ta’ żewġ varjabbli.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom: $\ f(x,y)=x\cdot y$. Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju $\ \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

Funzjonijiet ta’ iżjed valuri

Jekk il-kodominju ta’ funzjoni $\ f$ hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali.

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju:

$(x,y)\to (y,x)$.

Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni

$\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {P} (\mathbb {R} )$

li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

Operazzjonijiet binarji

Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan $\ \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ għal $\ \mathbb {Z}$, u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu $\ x+y$ (u mhux $\ +(x,y)$) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja $\ (x,y)$ bl-operazzjoni $\ +$.

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta’ grupp, bħala sett $\ X$ mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

Klassifikazzjoni

Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet

• funzjoni injettiva
• funzjoni surjettiva
• funzjoni bijettiva
• endofunzjoni
• permutazzjoni
• involuzzjoni

Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju

• funzjoni numerika
• funzjoni diskreta
• suċċessjoni
• funzjoni ta’ varjabbli reali
• funzjoni ta’ varjabbli komplessa
• morfiżmu
• funzjoni ta’ sett
• funzjoni indikatriċi

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià

• funzjoni rikorsiva primittiva
• funzjoni kalkulabbli
• funzjoni rikorsiva
• funzjoni rikorsiva totali
• funzjoni enumerattiva

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali

• funzjoni armonika
• funzjoni kontinwa
• funzjoni pari u funzjoni dispari
• funzjoni tiżdied, funzjoni tonqos u funzjoni monotona
• funzjoni polinomjali
• funzjoni razzjonali fratta
• funzjoni traxendenti
• funzjoni differenzjabbli
• funzjoni lixxa
• funzjoni analitika
• funzjoni olomorfa
• funzjoni antjolomorfa
• funzjoni meromorfa
• funzjoni konvessa
• funzjoni integrali
• funzjoni ċilindrika

Xi funzjonijiet magħrufa

• funzjoni Beta, funzjoni Gamma
• funzjonijiet trigonometriċi: senu, kosenu, tanġent, kotanġent
• funzjoni identità

Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku

• Funzjoni ta’ ripartizzjoni
• Funzjoni ta’ probabbiltà
• Funzjoni ta’ densità
• Funzjoni ġeneratriċi tal-momenti
• Funzjoni karatteristika

Portal Matematika