Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storikuImmodifika

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju:

  (Fermat 1636),
  (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristikaImmodifika

Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall   fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija   (il-funzjoni integrata) definita fuq   u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall   għall-grafiku tal-funzjoni  . In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni   fuq l-intervall  .

Jekk il-grafiku tal-funzjoni   hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni   hi integrabbli fuq l-intervall  . Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni   m'hijiex integrabbli fuq l-intervall  .

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall   f'  sottointervalli tat-tip   fejn   u  . Għal kull sottointervall nagħżlu punt  , li l-immaġni tiegħu hi  , u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall   u għoli  ; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)

  .

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli  , il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru  , il-funzjoni   hi integrabbli fuq l-intervall  , u   hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' RiemannImmodifika

 
Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt   permezz ta' partizzjoni   f'  sottointervalli :

 ,

Ħalli jkunu

  •  
  •  

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni  ):

 

Jekk nammettu li   tieħu valuri pożittivi fl-intervall,   hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan  , taħt il-grafiku ta'  .

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni  ):

 

Analogament,   hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun  .

Jidher ċar li jekk   imbagħad għal kull partizzjoni   ta'  :

 .

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Lemma 1.:

Jekk   u   huma partizzjonijiet ta'   u   hija rfinament ta'  :

 .



Lemma 2.:

Għal kull żewġ partizzjonijiet   ta'  :

 .


Ħalli jkunu

  partizzjoni ta'  ,
  partizzjoni ta'  .

  ngħidulu l-integral inferjuri u   l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

 

DefinizzjoniImmodifika

Definizzjoni: Integral skont Riemann

Jekk   ngħidu li l-funzjoni   hi integrabbli skont Riemann fuq l-intervall magħluq limitat   u l-valur kommuni ngħidulu l-integral ta'   fuq   u nuruh bis-simbolu:

 


In-numri  ,   ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u   l-integrand (  l-ewwel tarf,   it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri   tfisser l-istess bħal  . Id-  insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli   hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:

 

Jekk il-funzjoni   tibdel is-sinjal fuq   l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-sinjal differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.


Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall   f'sottointervalli ugwali ta' tul  . Jekk il-limiti ta'   u ta'   meta   tersaq lejn l-infinit huma l-istess, imbagħad ikollna

 

u allura, la  , ikollna wkoll

 

Eżempju 1.

Ħalli   u l-intervall ikun  . Imbagħad

 

u

 

Mela

 

fejn użajna l-formula  .

Bl-istess mod

 

Allura

 

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni   definita hekk

 

Għal kull partizzjoni tal-intervall  , f'kull sottointervall   hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela   u  . Għalhekk

 
 

Mela   u  . La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni   mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

Teorema 1: Kundizzjoni meħtieġa u biżżejjed għall-integrabbiltà

Halli   tkun funzjoni limitata fuq  . Imbagħad   hi integrabbli jekkk (jekk u biss jekk), għal kull  , teżisti partizzjoni   ta'   li għaliha

 


Prova : Nissoponu li   hi integrabbli u hekk  . Għall kull   mogħtija, teżisti partizzjoni   ta'   li tissodisfa

 

(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni   ta'   li tissodisfa

 

Ħalli  . Imbagħad minn Lemma 1, għandna

 


Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull   mogħtija, teżisti partizzjoni   ta'   li tissodisfa  . Allura

 

La   hi arbitrarja, bilfors li   u allura   u   hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont RiemannImmodifika

IntegrabbiltàImmodifika

Proprijetà 1: Il-monotonija hi biżżejjed għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni   hi monotona, allura hi integrabbli.

Prova: Nissoponu li l-funzjoni   tiżdied fuq  . Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw  , nistgħu nagħzlu   li tissodisfa

 

Ħalli   tkun partizzjoni tal-intervall   f'sottointervalli   ta' wisa' inqas minn  . Mill-monontonija għandna li   u  . Mela

 

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Proprijetà 2: Il-kontinwità hi suffiċjenti għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni   hi kontinwa, allura hi integrabbli.

Prova: La l-funzjoni   hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw  , teżisti   li għaliha

 

kull meta  . Jekk   hi partizzjoni tal-intervall   f'sottointervalli   ta' wisa' inqas minn  , imbagħad ikollna

 

u mela

 

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

LinjaritàImmodifika

Proprijetà 3: Il-proprijetà tal-linjarità
Ħalli   u   jkunu żewġ funzjonijiet kontinwi definiti f'intervall   u ħalli jkunu  . Imbagħad:

 

Prova: Jekk   jidher ċar li   u  . Mela la

 

għandna

 

B'mod simili jekk   għandna   u   u allura

 

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

 

Niftakru li

 

u għalhekk għal kull partizzjoni   ta'  

 

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull   mogħtija, jeżistu partizzjonijiet   u   ta'   li jissodisfaw

 

Ħalli  . Imbagħad minn Lemma 1, għandna

 

Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu

 

u allura l-funzjoni   hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

 

u

 

nikkonkludu li

 

AdditivitàImmodifika

Proprijetà 4: Il-proprijetà tal-additività
Jekk   tkun integrabbli fuq l-intervalli   u  , imbagħad tkun integrabbli fuq l-intervall   u

 


Prova:

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull   mogħtija, jeżistu partizzjonijiet   ta'   u   ta'   li jissodisfaw

 

Ħalli  . Din partizzjoni ta'   u għandna

 

Mela   hi integrabbli fuq  .

Nin-naħa l-oħra, la

 

u

 

nikkonkludu li

 

kif nixiequ.

MonotonijaImmodifika

Proprijetà 5: Il-propijetà tal-monotonija
Jekk   u   ikunu żewġ funzjonijiet integrabbli fuq l-intervall   u   għal kull  , imbagħad  


Prova : Jekk   għal kull  , għal kull partizzjoni   ta'   ikollna

 

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolutImmodifika

Teorema: Teorema tal-valur assolut
Jekk   tkun integrabbli fl-intervall  , imbagħad   hi wkoll integrabbli u
 


Prova: Ħalli   tkun partizzjoni ta'   f'  sottointervalli

 ,

u

 

Mid-diżugwaljanza

 

għal kull  , nikkonkludu li

 

u allura

 

Mela la   hi integrabbli,   hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni   valida għal kull  .

Teorema tal-medjaImmodifika

Teorema: Teorema integrali tal-medja

Jekk   tkun kontinwa imbagħad teżisti   li għaliha

 


Prova: La   hi kontinwa f' , bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu   u minimu   f' :

 

Mela

 

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

 

u allura

 

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li   f'   trid tieħu il-valuri kollha f' . Allura, in partikulari teżisti   li tissodisfa  .

Kalkulu differenzjali u kalkulu integraliImmodifika

F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali IImmodifika

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Jekk   tkun kontinwa, imbagħad il-funzjoni integrali   definita bħala

 

tkun derivabbli f'   u jkollha derivata   għal kull  .


Prova: Nieħdu  . Imbagħad għal kull   mogħtija, teżisti   li għaliha

 

jekk   Jidher ċar li

 

u li

 

Allura għandna

 

u għalhekk

 

Mela   tikkonverġi lejn   meta   tersaq lejn 0, u allura

 


Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni   derivabbli f'intervall   ngħidulha l-primittiva ta'   f'   jekk:

 

għal kull  .

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali IIImmodifika

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Jekk   tkun derivabbli, u d-derivata   tkun integrabbli, imbagħad

 


Prova: Ħalli   tkun partizzjoni ta'   f'  sottointervalli

 

u

 

Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall  , niksbu punti  , li għalihom

 

Mela għandna

 

La   għal kull  , isegwi li

 

La din hi valida għal kull partizzjoni  , għandna wkoll

 

Imma qegħdin nassumu li   hi integrabbli fuq  , u għalhekk

 

Allura

 

Integrali impropriImmodifika

Ngħidu li l-funzjoni   hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip   jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni | | hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip  :

Teorema: Teorema tal-integrabbiltà assoluta

Jekk   tkun assolutament integrabbli, imbagħad tkun ukoll integrabbli.


Prova: Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex   jeżisti u hu finit hi li

 


Mill-integrabbiltà ta'   nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu   minflok  :


 

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna

 


U mela nistgħu niktbu

 

Mill-liema niksbu li   hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

 

L-integral skont LebesgueImmodifika

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall   f'settijiet iżjed ġenerali.

Integrali oħraImmodifika

BibljografijaImmodifika

Ħoloq esterniImmodifika