Trasformata ta' Fourier

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

DefinizzjoniImmodifika

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal  , niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni   hekk:

 

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

 

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet  :

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal   niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni   hekk:

 

fejn   jirrappreżenta l-prodotti skalari.

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur  .

EżempjiImmodifika


Jekk  , jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

 
 

Jekk  , għandna:

 

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

 

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

 

Proprijetajiet formaliImmodifika

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

 

għal kull   u  .

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli   u  .

Jekk  , imbagħad

 

u jekk  , imbagħad

 .

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk  , imbagħad  , u jekk  , fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad  . In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad   hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad   hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk   b'  , imbagħad  .

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b' ) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal  

 ,

imbagħad ikollna

 .

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk   u  , imbagħad   hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

 

Jekk vice versa   hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli,  , imbagħad it-trasformata tad-derivata hi  . Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

Teorema Riemann-LebesgueImmodifika

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli  . Jekk  , imbagħad:

  1.  
  2.  
  3.  

Ara wkollImmodifika

BiblijografijaImmodifika

  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. ISBN 0-12-585002-6