Trasformata ta' Fourier

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

Definizzjoni

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal $u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!$, niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni $u\!$ hekk:

${\mathcal {F}}\{u\}(\omega )={\hat {u}}(\omega ):={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt\qquad \forall \omega \in \mathbb {R} \!$

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

${\mathcal {F}}:u\to {\hat {u}}\!$

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$:

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$ niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni $u\!$ hekk:

${\mathcal {F}}\{u\}({\boldsymbol {\omega }})={\hat {u}}({\boldsymbol {\omega }}):={{1} \over {{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\rm {i}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {t} }u(\mathbf {t} )\,d\mathbf {t} \qquad \forall {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{n}\!$

fejn ${\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {t} \!$ jirrappreżenta l-prodotti skalari.

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur ${{1} \over {{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\!$.

Eżempji

---

Jekk $u(t)=\chi _{[-1,+1]}(t)\!$, jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

${\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}\chi _{[-1,+1]}(t)\,dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-{\rm {i}}\omega t}\,dt$

$={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}{\left[{{e^{-{\rm {i}}\omega t}} \over {-{\rm {i}}\omega }}\right]}_{-1}^{+1}={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}{{e^{{\rm {i}}\omega }-e^{-{\rm {i}}\omega }} \over {{\rm {i}}\omega }}={\sqrt {{2} \over {\pi }}}{{\sin \omega } \over {\omega }}\!$

---

Jekk $u(t)={{1} \over {1+t^{2}}}\!$, għandna:

${\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt$

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

$\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt={\begin{cases}\pi e^{\omega }&\omega <0\\\pi e^{-\omega }&\omega >0\end{cases}}$

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

${\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{{e^{-{\rm {i}}\omega t}} \over {1+t^{2}}}\,dt={\sqrt {{\pi } \over {2}}}e^{-|\omega |}\!$

Proprijetajiet formali

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

${\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g)$

għal kull $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$ u $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$.

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ u $\alpha \in \mathbb {C}$.

Jekk $g(t)=f(t-\alpha )$, imbagħad

${\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )e^{-{\rm {i}}\alpha \omega }$

u jekk $g(t)=f(t)e^{{\rm {i}}\alpha t}$, imbagħad

${\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\alpha )$.

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk $g(t)=f(-t)$, imbagħad ${\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(-\omega )$, u jekk $g(t)=f(-t)^{*}$, fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad ${\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )^{*}$. In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad ${\hat {f}}$ hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad ${\hat {f}}$ hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk $g(t)=f(t/\lambda )$ b' $\lambda \in \mathbb {R}$, imbagħad ${\hat {g}}(\omega )=\lambda {\hat {f}}(\lambda \omega )$.

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b'$^{*}$) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ),$

$(f*g)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\mathrm {d} s$,

imbagħad ikollna

${\widehat {f*g}}={\hat {f}}{\hat {g}}$.

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk $g(t)=-{\rm {i}}tf(t)$ u $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$, imbagħad ${\hat {f}}$ hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

${\hat {f}}'(\omega )={\hat {g}}(\omega ).$

Jekk vice versa $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, $f'\in L^{1}(\mathbb {R} )$, imbagħad it-trasformata tad-derivata hi ${\widehat {f'}}(\omega )=i\omega {\hat {f}}(\omega )$. Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

Teorema Riemann-Lebesgue

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!$. Jekk ${\hat {u}}={\mathcal {F}}\{u\}$, imbagħad:

1. ${\hat {u}}\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\!$
2. ${\left\|{\hat {u}}\right\|}_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\left\|u\right\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!$
3. $\lim _{\|{\boldsymbol {\xi }}\|\to \infty }{\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})=0\!$

Ara wkoll

• Serje ta' Fourier
• Analisi ta' Fourier
• Trasformata ta' Laplace

Biblijografija

Portal Matematika

• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. ISBN 0-12-585002-6