It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.
It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.
Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:
għal kull u .
Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni
tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:
Ħalli u .
Jekk , imbagħad
u jekk ,
imbagħad
.
Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk , imbagħad , u jekk , fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad . In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad hi immaġinarja u farrada.
Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b') hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal
,
imbagħad ikollna
.
Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.
Jekk vice versa hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, , imbagħad it-trasformata tad-derivata hi .
Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.