Fl-analisi matematika, ekwazzjoni differenzjali hi relazzjoni bejn funzjoni mhux magħrufa u xi derivati tagħha.

Fil-każ li tkun funzjoni

definita f' intervall ta' ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta' ordinary differential equation). Din ir-relazzjoni hi eżempju ta' ODE

.

Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni hija:

.

Insejħu ordni jew grad tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju:

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa hi funzjoni ta' biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta' metodi numeriċi.

Matul is-sekli, mindu Leibniz u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri , u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma

li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna

MotivazzjoniImmodifika

L-ekwazzjonijiet differenziali huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta' mudelli matematiċi fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-ekonomija. Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu   minn   individwi u nsejħu   il-popolazzjoni fil-ħin  . Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt  , wara ħin relativament żgħir   titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda  , jiġifieri daqs   fejn   hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu   individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn   hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin  , għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin   li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri

 

Għalhekk għandna

 

Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir-rapport inkrementali tal-funzjoni  ; jekk   hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid-derivata   u niktbu:

 

Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni. Ir-riżolużzjoni ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni   li tissodisfa.

F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

 

funzjoni esponenzjali li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk  , jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk  .

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-mudell ta' Volterra - Lotka.

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom numerikament, jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax-xifer.

Problema ta' CauchyImmodifika

Il-problema ta' Cauchy assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-kundizzjoni inizjali. Bil-formuli:

 

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjataImmodifika

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni  , mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja   b'potenza rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta'   waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali  , nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja   skont ir-regola indikata fuq u niksbu  .

Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjaliImmodifika

Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi partial differential equation) hi ekwazzjoni li tinvolvi d-derivati parzjali ta' funzjoni mhux magħrufa.

Fil-każ li   tkun funzjoni ta'   varjabbli reali indipendenti  , jiġifieri  , ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni  , jkollha l-forma ġenerali:

 

jekk   tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni   ta'   .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.

BibljografijaImmodifika

Ħoloq esterniImmodifika