Moviment Brownjan

Il- moviment Brownjan hu deskrizzjoni matematika ta' moviment każwali ta' partiċella "tqila" mgħaddsa fi fluwidu u li m'għandhiex fuqha interazzjonijiet oħra ħlief il-ħbit fuqha tal-molekuli "ħfief" tal-fluwidu ta' madwarha. Minn dan jirriżulta li l-partiċella t-tqila timxi b'moviment irregolari ħafna, li ġie deskritt għall-ewwel darba fl-1827 mill-botanista Robert Brown waqt li kien qiegħed josserva ċ-ċaqlieq ta' partiċelli fil-fluwidu fil-ġewwieni ta' trab tal-pollin[1].

Il-moviment Brownjan ta' partiċella

Id-deskrizzjoni fiżika l-iżjed elementari ta' dan il-fenomenu hi din:

  • bejn żewġ ħabtiet, il-partiċella l-kbira timxi f'linja dritta b'veloċità kostanti;
  • il-partiċella l-kbira taċċelera meta taħbat ma' molekula tal-fluwidu jew xi ħajt.

Permezz ta' dan il-moviment nistgħu niddeskrivu l-imġiba termodinamika tal-gasijiet (teorija ċinetika tal-gasijiet), kif ukoll il-fenomenu tad-diffużjoni. Huwa użat ħafna wkoll fil-mudelli tal-matematika finanzjarja.

Ħjiel storikuEdit

Brown ra fil-fluwidu li kien fil-ġewwieni tat-trab tal-pollin (il-moviment Brownjan ma ġiex osservat fuq it-trab tal-pollin stess kif jingħad sikwit), xi partiċelli żgħar ħafna jiċċaqilqu b'movimenti li kienu jidhru kaotiċi. Dan ma setax jiġi spjegat permezz ta' kurrenti u lanqas permezz ta' xi fenomenu fiżiku ieħor magħruf. Għall-ewwel Brown għalhekk attribwieh għal xi attività ħajja. L-ispjegazzjoni korretta tal-fenomenu ġiet wara.

Brown ma kienx eżattament l-ewwel wieħed li għamel din l-osservazzjoni. Qal hu stess li bosta oħrajn kienu ssuġġerew l-eżistenza ta' dan il-moviment (f'konnessjoni mat-teoriji vitalisti ta' żmienu). Nistgħu insemmu lill-qasis kattoliku John Turberville Needham (1713-1781), famus f'ħajtu għas-sengħa li kellu fuq il-mikroskopju, u lill-Olandiż Jan Ingenhousz (1730 -1799) li fl-1785 iddeskriva l-moviment irregolari tat-trab tal-faħam fuq wiċċ l-alkoħol.

Matul is-seklu 20 kien hemm ħafna diskussjonijiet dwar x'kien osserva sewwa Brown. Minħabba l-kwalità medjokra tal-apparat li seta' jinqeda bih, xi wħud iddubitaw jekk kienx veru li ra l-moviment Brownjan, li kien jinvolvi partiċelli ta' xi mikrometri mill-iżjed. L-Ingliż Brian Ford reġa' għamel l-esperiment fil-bidu tas-snin 1990, bil-materjal użat minn Brown u f'kondizzjonijietet li kienu l-istess kemm jista' jkun[2]. Il-moviment kien veru osservat f'dawn il-kondizzjonijiet u hekk ġew ikkonfermati l-osservazzjonijiet ta' Brown.

Rudimenti matematiċiEdit

Il-kunċett ta' proċess każwaliEdit

Insibuh diffiċli li nimmudellaw il-moviment Brownjan minnħabba l-fatt li dan il-moviment hu każwali u li statistikament kull partiċella ma timxix: mhuwiex moviment tal-partiċelli kollha f'daqqa bħar-riħ jew kurrent. Iżjed preċiż:

  • f'waqt mogħti, is-somma vettorjali tal-veloċitajiet tal-partiċelli hi żero (m'hemmx moviment tal-ġabra tal-partiċelli);
  • jekk insegwu partiċella mogħtija, matul iż-żmien, il-bariċentru tal-mogħdija tagħha hu l-punt minn fejn tkun telqet, tagħmel "dawra durella" madwar l-istess punt.

Hu diffiċli f'dawn il-kondizzjonijiet li nikkaratterizzaw il-moviment. Is-soluzzjoni sabha Louis Bachelier, u ppreżentaha fit-teżi tiegħu li ddefenda fid-29 ta' Marzu 1900. Wera li dak li jikkaratterizza l-moviment, m'hijiex il-medja aritmetika tal-pożizzjonijiet   imma l-medja kwadrata   : jekk   hi d-distanza tal-partiċella fil-ħin   wara li telqet minn fejn telqet, allura :

 

Nistgħu nuru li hawn l-ispostament kwadrat medju hu proporzjonali għall-ħin[3] :

 

fejn   hi d-dimensjoni tal-moviment (linjari, pjan, spazjali),   il-koeffiċjent tad-diffużjoni u   il-ħin li jkun għadda.

Definizzjoni matematikaEdit

Nistgħu nagħtu din id-definizzjoni formali: Il-moviment Brownjan hu proċess stokastiku   fejn l-inkrementi disġunti huma indipendenti u l-inkrement   jobdi l-liġi normali b'medja żero u varjanza  .

Permezz ta' din id-definizzjoni nistgħu nippruvaw xi proprjetajiet tal-moviment Brownjan, bħal pereżempju il-kontinwità tiegħu (kważi żgura[4]), il-fatt li kważi żgurament, il-mogħdija tiegħu m'hi mkien differenzjabbli, u bosta proprjetajiet oħra.

Nistgħu ukoll niddefinixxu l-moviment Brownjan permezz tal-varjanza. Din id-definizzjoni, imsejħa t-teorema ta' Lévy, tagħti din il-karatterizzazzjoni: Proċess stokastiku li hu martingala lokali u għandu varjanza   hu moviment Brownjan.

Il-formola ta' EinsteinEdit

Permezz tal-formola li tajna hawn fuq nistgħu nikkalkulaw il-koeffiċjent tad-diffużjoni ta' par partiċella-fluwidu. Ġaladarba nkunu nafu l-karatteristiċi tal-partiċella li qiegħda tiddifuża, nistgħu niddeduċu l-karatteristiċi tal-ieħor. Jekk inkunu nafu l-karatteristiċi tat-tnejn, inkunu nistgħu nikkalkulaw in-numru ta' Avogadro bl-għajnuna tal-formola ta' Einstein (1905) :

 

fejn   hi l-kostanti tal-gasijiet perfetti,   it-temperatura,   il- viskożità tal-fluwidu,   ir-raġġ tal-partiċella u   in-numru ta' Avogadro. Il-fiżiku Jean Perrin ikkalkula dan in-numru fl-1908 permezz ta' din il-formola.

Xi mudelli fl-spazju EwklidewEdit

L-ekwazzjoni ta' Langevin (1908)Edit

Fil-metodu ta' Langevin[5], il-partiċella Brownjana l-kbira ta' massa   għandha fil-waqt  , veloċità   u jaħkmu fuqha żewġ forzi:

  • forza ta' frizzjoni fluwida tat-tip  , fejn   hi kostanti pożittiva;
  • ħoss abjad Gaussjan,  [6].

Meta napplikaw il-prinċipju fundamentali tad-dinamika ta' Newton b'dawn il-forzi niksbu l-ekwazzjoni stokastika ta' Langevin:

 

Il-proċess ta' Ornstein-UhlenbeckEdit

Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck hu proċess stokastiku li jiddeskrivi l-veloċita ta' partiċella fi fluwidu, f'dimensjoni 1.

Niddefinuh bħala s-soluzzjoni   ta' din l-ekwazzjoni differenzjali stokastika:

 ,

fejn   hu moviment Brownjan standard, u   hi varjabbli każwali mogħtija. It-terminu   jirrappreżenta l-għadd kbir ta' ħabtiet stokastiċi mal-partiċella, waqt li t-terminu   jirrappreżenta l-forza tal-frizzjoni fuq il-partiċella.

Il-formola ta' Itô applikata għall-proċess   tagħtina:

 ,

li fil-forma integrali ssir:

 .

Pereżempju, jekk   tieħu kważi żgur il-valur  , Il-liġi ta'   hi liġi Gaussjana b'medja   u varjanza  , li tikkonverġi fil-liġi meta   tersaq lejn l-infinit għal liġi Gaussjana standard.

Mixjiet każwaliEdit

Nistgħu nużaw mudell ta' mixja każwali, fejn il-moviment isir b'qabziet diskreti bejn pożizzjonijiet fissi (b'movimenti f'linja dritta bejn żewġ pożizzjonijiet), bħal pereżempju fil-każ tad-diffużjoni fis-solidi. Jekk ix-  huma l-pożizzjonijiet wara xulxin ta' partiċella, wara   qabżiet ikollna:

 

Mixja każwali f'dimensjoni waħda tal-ispazju (Eżempju)Edit

Ejjew inħarsu lejn mixja ta' partiċella fuq l-assi Ox. Nissoponu li din il-partiċella tagħmel qabżiet ta' tul   bejn pożizzjonijiet ġirien ta' xulxin sitwati fuq l-għoqod tax-xibka:   ta' ħadma   u kull qabża ddum żmien  .

Irridu nagħtu wkoll numru   li jissodisfa:  . L-interpretazzjoni fiżika ta dan il-parametru hi din:

  •   tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn il-lemin kull darba;
  •   tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn ix-xellug kull darba.

Il-każ tal-moviment Brownjan jikkorrispondi ma' li nagħmlu l-ipoteżi ta' iżotropija spazjali. Id-direzzjonijiet fl-ispazju fiżiku huma a priori ekwivalenti u l-probabbiltajiet ta' qbiż lejn iż-żewġ direzzjonijiet huma l-istess:

 

Ix-xbieha hawn taħt turi eżempju tipiku tar-riżultat: il-partiċella titlaq minn  ,  , u l-linja timxi mal-pożizzjonijiet suċċessivi   tal-partiċella fil-ħinijiet  .

 

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonaliEdit

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali niddefinuha hekk:

 

bħala l-probabbiltà li nsibu l-partiċella fuq is-sit (għoqda)   fil-ħin   meta nkunu nafu li kienet fuq is-sit   fil-ħin tal-bidu  .

L-ipoteżi ta' iżotropija twassalna biex niktbu l-liġi tal-evoluzzjoni ta' din il-pobabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali b'dan il-mod :


 

Minnha niddeduċu din ir-relazzjoni:

 

Konverġenza lejn il-moviment Brownjan. Ekwazzjoni ta' Fokker-PlanckEdit

Ejjew nieħdu l-limitu kontinwu tal-aħħar ekwazzjoni, jiġifieri nieħdu l-limitu bil-parametri:

  •  
  •  

Meta nagħmlu l-kalkulu tal-limitu kontinwu naraw li l-kumbinazzjoni   trid tibqa' kostanti f'dan il-limitu. Meta niżviluppaw   f'poteri ta'   insibu:

 

Meta niżviluppawha f’poteri ta'   ikollna:

 

u jekk nagħqduhom dawn tal-aħħar flimkien inġibu:

 

Minn dawn nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck :

 

jew

 

li nistgħu nerġgħu niktbuha:


 

meta nintroduċu l-koeffiċjent tad-diffużjoni:

 

Solution tal-ekwazzjoni ta' Fokker-PlanckEdit

Barra mill-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck, id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali   trid tissosdisfa iż-żewġ kondizzjonijiet supplementari li ġejjin:

  • in-normalizzazzjoni tal-probabbiltà totali:
 
  • il-kondizzjoni inizjali:
 

fejn   hi d-distribuzzjoi ta' Dirac.

Id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali   hi mela essenzjalment funzjoni ta' Green tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck. Nistgħu nuru li din tinkiteb espliċament:

 

Il-mumenti ta' din id-distribuzzjoni nistgħu nikkalkulawhom faċilment[7].

Il-moviment Brownjan fuq varjetà RiemannjanaEdit

Insejħu moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana   il-proċess każwali kontinwu Markovjan li s-semigrupp tiegħu tat-tranżizzjoni b'parametru wieħed hu mnissel minn  , fejn   hu l-operatur ta' Laplace-Beltrami fuq il-varjetà  .

Noti u referenziEdit

  1. ^ Robert Brown ; A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies., Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Wieħed jista' jaraha fil-format pdf fuq dan is-sit [1]
  2. ^ Brian J. Ford ; Brownian movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4): 235-241, 1992 Riproduzzjoni tal-artiklu online
  3. ^ Fil-każ ta' moviment regolari f'linja, hu l-ispostament   li hu proporzjonali għall-ħin.
  4. ^ Ngħidu li ġrajja hi kważi żgura jew tiġri kważi żgurament jekk il-probabbiltà li tiġri hi 1.
  5. ^ Paul Langevin, Sur la théorie du mouviment Brownien, (Dwar it-teorija tal-moviment Brownjan), Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf mis-sit Gallica de la BNF.
  6. ^ Ħoss abjad Gaussjan   hu proċess każwali b'medja żero:

     

    u totalment dekorrelat fil-ħin; in fatti l-funzjoni ta' korrelazzjoni ta' żewġ ħinijiet tieħu l-valur:

     

    F'din il-formola,   hi kostanti posittiva, u   hi d-distribuzzjoni ta' Dirac.


    F'dawn iż-żewġ formoli, il-medja tittieħed fuq ir-realizzazzjoniet possibbli ta' ħoss abjad Gaussjan. Nistgħu nifformulaw dan billi nintroduċu integral funzjonali li għadu msejjaħ bl-isem li tah Feynman, Integral fuq il-Mgħodijiet definit għall-meżura Gaussjana msejħa "meżura ta' Wiener" (Cf. e.g. : Mark Kac ; Integration in Function Space and some of Its Applications, (Integrazzjoni fuq spazju ta' funzjonijiet u xi applikazzjonijiet tagħha), Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Test fil-format jinstab fuq [2]) hekk, niktbu:

     

    fejn   hi d-derivata ta'   bil-ħin  .

  7. ^ Biex nissemplifikaw inqegħdu  . Il-mument ta' ordni   hu

     

    fejn  . Billi l-funzjoni   hi żewġ, il-mumenti tagħha kollha ta' ordni farada huma żero. Nistgħu faċilment nikkalkulaw il-momenti kollha ta' ordni żewġija billi nqegħdu:

     

    u niktbu:

     

    Niksbu espliċitament:

     

    Niksbu b'mod partikulari għall-mument ta' ordni tnejn:

     

BibljografijaEdit

Aspetti storiċiEdit

  • Jean Perrin, Mouvement brownien et réalité moléculaire, (Il-moviment Brownjan u r-realtà molekulari) Annales de Chimie et de Physique 19 (it-8 serje), (1909), 5-104. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf minn fuq is-sit Gallica tal-BNF.
  • Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, (Starriġ dwar it-teorija tal-moviment Brownjan) Dover Publications, Inc. (1985), ISBN 0-486-60304-0. Edizzjoni mill-ġdid tal-artikli oriġinali ta' Einstein fuq it-teorija tal-moviment Brownjan.

Il-moviment Brownjan fl-ispazju EwklidewEdit

  • Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, (Il-moviment Brownjan) Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Pariġi, 8 ta' April 2005). Test komplut disponibbli fuq [3].
  • Bernard Derrida u Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, (Il-moviment Brownjan u t-teorema ta' flutwazzjoni-dissipazzjoni) f Michèle Leduc & Michel Le Bellac (edituri) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (Jannar 2005), ISBN 2-86883-768-9.
  • Paul Lévy, Processus stochastiques et mouvement brownien, (Proċessi stokastiċi u l-moviment Brownjan) Gauthier-Villars (it-2 edizzjoni - 1965). Re-editjata minn Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-091-8.
  • Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, (Mixjiet każwali u t-teorija tal-moviment Brownjan) American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [4].
  • Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, (Teoriji dinamiċi tal-moviment Brownjan) Princeton University Press (1967). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [5].

Il-moviment Brownjan fuq varjetà RiemannjanaEdit

  • Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, (Analisi stokastika fuq il-varjetajiet) American Mathematical Society (Jannar 2002), ISBN 0-8218-0802-8.
  • Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (Introduzzjoni fil-qosor għall-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana) (2003). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [6].
  • Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, (Proċess iżotropiku tat-trasport fuq varjetà Riemannjana), Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360.
  • Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ? (Tista' tħoss il-forma ta' varjetà permezz tal-moviment Brownjan ?), Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
  • Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifolds (Moviment Brownjan u mixjiet każwali fuq varjetajiet), Annales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [7].
  • Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, (Sfond analitiku u ġeometriku tal-moviment Brownjan fuq varjetajiet Riemannjani), Bulletin of the American Mathematical Society 36(2) (1999), 135-249. Test jista' jinstab fuq [8].

Ħoloq esterniEdit