Liġi tan-numri kbar

Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta' varjabbli każwali [1] indipendenti u distribwiti identikament (bħal qisien tal-istess kobor, tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta tersaq lejn l-infinit.

Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja : meta tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta' (ara l-eżempju).

Il-liġi qawwija tan-numri kbarImmodifika

Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali   indipendenti u distribwiti identikament b'medja  , il-medja kampjunarja hi

 

Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li

 

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal- .

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbarImmodifika

Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk   tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja  , l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad għal kull  :

 

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal- .

Konsegwenzi fl-istatistikaImmodifika

Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar nistgħu ikkolna fiduċja li l-medja li nikkalkulaw minn numru kbir biżżejjed ta' kampjuni hi qrib biżżejjed tal-medja vera.

EżempjuImmodifika

Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex   (ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).

Jekk nitfgħu id-damma   darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma,  , li hi mogħtija minn

 

fejn kull   fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, probabbilment, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja,  .

Jekk l-istima   li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser żguri mhux ħażin jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta'   li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.

B'iżjed rigurImmodifika

Ħalli   tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott   u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti  ),  . Għal kull element   niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f'  provi,  , fejn   turi n-numru ta' suċċessi miksuba f'   provi.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbarImmodifika

B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha:  ,  .

Prova:

Jekk niffissaw   u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv [2]
 
Jekk   għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna
  u  
mil-liema
  u  .
Meta nissostitwixxu niksbu:
 
u la  ,  ,
 
Imma  , u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.

Nota: Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu  , kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu   il-valur ta'   ħa jibqa inqas jew daqs  , jiġifieri li s-sett   ħa jkun  -traskurabbli. Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li:   imma m'hemm xejn li jiżgura li   ma tiddiverġiex meta  .

Il-liġi qawwija tan-numri kbarImmodifika

Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :  timplika li  ,

 

u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:

1.

Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:
 
Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:
 
Issa jekk  , bil-monotonija ta'   għandna
 
 
u mela
 

2.

Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:
 
 
Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta'  , nistgħu niktbu:
 
Imbagħad bil-monotonija ta'   niksbu għal kull  .
 
li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.


Prova tal-liġi qawwija:

Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:
 
Din hi wkoll ekwivalenti għal:
 
Bis-subadditività
 
 
Mela, billi   mhux negattiva, jekk nuru li  
 
inkunu pprovajna l-liġi qawwija. L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni  , jiġifieri  
 .
Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi
 
Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li  
 
minn fejn:
 
Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li  ,
 
Issa ninotaw li kull numru naturali n qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri,   hekk li
 
minn fejn inġibu
 
Issa ninotaw li   hi l-ikbar differenza possibbli bejn   u  , u għalhekk:
 
u mela:
 
Issa jekk nużaw  , ikollna:
 
Meta ngħaddu għall-limitu ( ) u napplikaw ir-riżultat miksub għal  , niksbu li, kważi ċertament:
 
li ttemm il-prova.

NotiImmodifika

  1. ^ Nistgħu ngħidulom ukoll varjabbli aleatorji jew varjabbli stokastiċi
  2. ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).