Kalkulu tal-varjazzjonijiet
Il-kalkulu tal-varjazzjonijiet hu qasam tal-matematika li jittratta funzjonijiet ta’ funzjonijiet, differenti mill-analisi ordinarja li tittratta funzjonijiet tan-numri. Dawn il-funzjonali jistgħu jkunu formulati, pereżempju, bħala integrali li jinvolvu funzjoni mhux magħrufa u d-derivati tagħha. L-interess hu fil-funzjonijiet estremali, jew dawk li jagħmlu l-valur tal-funzjonali massimu jew minimu. Xi problemi klassiċi fuq il-kurvi nistgħu inqegħduhom f’din il-forma: fost l-eżempji hemm il-kurva brakistokrona, il-mogħdija minn punt A għal punt B, mhux fl-istess linja vertikali, li matulha partiċella tinżel fl-inqas ħin taħt il-forza ta’ gravità. Mela rridu nimminimizzaw il-funzjoni li tirrappreżenta l-ħin fuq il-kurvi kollha minn A għal B.
It-teorema tal-qofol tal-kalkulu tal-varjazzjonijiet hu l-ekwazzjoni ta’ Euler-Lagrange. Din tikkorrispondi ma kondizzjoni ta’ stazzjonarjetà għall-funzjonal. Bħal fil-każ meta nfittxu l-massimi u l-minimi ta’ funzjoni, l-analisi tal-varjazzjonijiet żgħar madwar soluzzjoni tagħti kondizzjoni ta’ l-ewwel ordni. Ma nistgħux ngħidu direttament jekk inkunux sibna massimu, minimu, jew l-ebda wieħed.
Il-metodi varjazzjonali huma importanti fil-fiżika teorika: fil-mekkanika lagranġjana u fl-applikazzjoni tal-prinċipju ta’ minima azzjoni għall-fiżika kwantistika. Il-metodi varjazzjonali jipprovdu l-bażi matematika għall-metodu ta’ l-elementi finiti, li hu biċċa għodda qawwija għar-riżoluzzjoni tal-problemi tax-xifer. Huma użati ħafna wkoll fl-istudju ta’ l-ekwilibri statiċi fix-xjenza tal-materjali, u fil-matematika pura, pereżempju fl-użu tal-prinċipju ta’ Dirichlet għall-funzjonijiet armoniċi mill-lat ta’ Bernhard Riemann.
L-istessi konċetti jidhru f’suriet oħra, pereżempju, bħala metodi fl-ispazji ta’ Hilbert, fit-teorija ta’ Morse, jew fil-ġometrija simplettika. Il termini varjazzjonali tintuża fil-każi kollha ta’ funzjonali estremali. L-istudju tal-ġeodetiċi fil-ġometrija differenzjali hu qasam li ovvjament għandu kontenut varjazzjonali. Sar ħafna xogħol fuq il-problema tas-superfiċju minimu (problema tal- bużżieqa tas-sapun), magħrufa wkoll bħala l-problema ta’ Plateau.
Paġni li għandhom x’jaqsmu
immodifika- Diżugwaljanza isoperimetrika
- Prinċipju varjazzjonali ta’ Hamilton
- Prinċipju ta’ Maupertuis
- Prinċipju ta’ Fermat
- Prinċipju ta’ minima azzjoni
- Ottimizzazzjoni infinito-dimensjonali
- Analisi funzjonali
- Metodi perturbattivi
- Metodi diretti fil-Kalkulu Varjazzjonali
Ħoloq esterni
immodifika- Chapter III: Introduction to the calculus of variations ta' Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
Bibljografija
immodifika- Tonelli, L.: Fondamenti di calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
- Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
- Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
- Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
- Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
- Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
- Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
- Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
- Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
- Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
