Sistema dinamika

Fil-fiżika, matematika u l-inġinerija, u b'mod artikolari fit-teorija tas-sistemi, sistema dinamika hi mudell matematiku li jirrappreżenta oġġett (sistema) b'numru finit ta' gradi ta' libetà li jevolvi fiż-żmien skont liġi deterministika; tipikament sistema dinamika tiġi rappreżentata b'ekwazzjoni differenzjali u hi identifikata ma' vettur fl-ispazju tal-fażi, l-ispazju tal-istati tas-sistema, fejn "stat" hu terminu li jindika is-sett tal-grandezzi fiżiċi, imsejħin varjabbli tal-istat li l-valuri effettivi tiegħu "jiddeskrivu" is-sistem f'ċertu mument.

Attrattur ċikliku simmetriku ta' Thomas

DeskrizzjoniEdit

 
Illustrazzjoni skematika ta' rappreżentazzjoni ġeometrika ta' sistema dinamika

L-istudju tas-sistemi dinamiċi jirrappreżenta wieħed mill-eqdem u l-iktar oqsma importanti tal-matematika u l-fiżika; huwa mudell matematiku użat biex jiddeskrivi s-sistemi mekkaniċi fil-kuntest tal-mekkanika klassika u fir-riformulazzjoni tagħha żviluppata fill-mekkanika Lagrangejana u fil-mekkanika Hamiltonjana, u li hija preżenti f'ħafna oqsma tal-inġinerija, bħall-awtomazzjoni u l-inġinerija tas-sistemi. L-applikazzjonijiet huma ħafna, u jvarjaw minn ċirkwiti elettriċi għal sistemi termodinamiċi.

Fl-aħħar tas-seklu dsatax, Henri Poincaré osserva l-possibbiltà ta’ mġiba irregolari ħafna f'xi sistemi dinamiċi meta studja l-problema ta' tliet korpi. Fis-snin 50 tas-seklu ta' wara, wara l-esperimenti numeriċi tal-meteorologu Edward Lorenz, li waqt li kien qiegħed jistudja l-atmosfera tad-dinja sab dipendenza sensittiva fuq il-kundizzjonijiet inizjali, ir-riżultati ta' Poincaré ġew ikkunsidrati b'ħafna serjetà mill-komunità xjentifika u stabbilew il-pedamenti għat-teorija tal-kaos. L-imġiba kaotika tas-sistemi dinamiċi, li l-formolazzjoni matematiċi tagħhom tista' tkun ta' kumplessità kbira u teħtieġ l-użu tal-kompjuters, instabet f’ħafna u oqsma differenti, fosthom il-bijoloġija u l-ekonomija. Sistema dinamika tista' tiġi definita bħala sistema li l-immudellar matematiku tagħha jista' jiġi espress permezz ta' ekwazzjoni differenzjali (ordinarja jew parzjali). Hemm diversi formaliżmi matematiċi utli għad-deskrizzjoni u l-istudju tagħha kemm fl-oqsma fiżiċi kif ukoll tal-inġinerija.

Jistgħu jiġu identifikati żewġ tipi ta' sistema dinamika:

  • jekk l-evoluzzjoni sseħħ f'intervalli ta' ħin diskreti, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika diskreta u hija definita bl-iterazzjoni ta' funzjoni;
  • jekk l-evoluzzjoni tkun kontinwa u definita b'ekwazzjoni differenzjali, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika kontinwa.

Fost is-sistemi dinamiċi, dawk linjari huma ta' importanza partikolari billi huma l-aktar sempliċi biex jiġu analizzati waqt li l-ekwazzjonijiet mhux lineari ġeneralment ma jistgħux jiġu solvuti eżattament. Fost is-sistemi linjari, is-sistemi linjari invarjanti mal-ħin jintużaw ħafna fit-teorija tas-sinjali u fit-teorija tal-kontroll. Waħda mill-karatteristiċi tas-sistemi dinamiċi li hija studjata ħafna hija l-istabbiltà, Pereżempju, sikwit tiġi studjata l-istabbiltà f'termini ta' kemm l-informazzjoni tal-ħruġ tinfirex imqabbla ma' tad-dħul (stabbiltà esterna), jew f'termini ta' kemm l-istat ta' sistema jitbiegħed minn stat ta' ekwilibriju (stabbiltà interna). Sabiex tiġi analizzata matematikament l-imġiba ta' sistema dinamika, jintużaw prinċipalment żewġ tipi ta' deskrizzjoni, ir-rappreżentazzjoni fl-ispazju tal-istat u l-formaliżmu tad-dominju tal-frekwenzi (ara l-funzjoni tat-trasferiment fil-każ ta' sistemi stazzjonarji).

DefinizzjoniEdit

Speċifikament, għal kull   nistgħu niddefinixxu   li tobdi:

 
 

fejn:

 

Dan juri l-fatt li l-liġi tal-evoluzzjoni   tas-sistema ma tinbidilx hi stess mal-ħin. Il-funzjonijiet   ipparametrizzati minn  , bil-liġi ta' kompożizzjoni  , jiffurmaw grupp kommutattiv b'parametru wieħed. Sikwit fil-każ diskret,   tikkoinċidi ma'  , waqt li fil-każ kontinwu,   tikkoinċidi ma'  .[1]

Il-grafiku ta'   hu t-trajettorja tas-sistema fil-ħin u s-sett:

 

hu l-orbita li tgħaddi minn  .

Sottosett   jissejjaħ  -invarjant jekk:

 

B'mod partikolari, biex   ikun invarjanti irridu nivverifikaw li   għal kull  .

Allura għandna id-definizzjoni li ġejja: Jekk   jkun varjetà differenzjali[2]  -dimensjonali, b'  finit, u   grupp ta' diffeomorfiżmi[3] ta' mapep regolari  , imbagħad il-koppja   tissejjaħ sistema dinamika regolari invertibbli (kontinwa jekk   jew diskreta jekk   inkella  ).

Sistemi fiżiċiEdit

Id-dinamika tas-sistemi fiżiċi tista' tiġi karatterizzata mill-fatt li l-mozzjoni tagħhom bejn żewġ punti ta' koordinati ġeneralizzati[4]   e   timxi ma' triq li tagħmel stazzjonarja, jiġifieri mingħajr varjazzjoni, il-funzjoni tal-azzjoni:[5]

 

skont il-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (il-Prinċipju varjazzjonali ta' Hamilton). L-azzjoni hi l-integral fil-ħin tal-Lagrangejana  :[6]

 

fejn  . Nistgħu nuru li   definita hekk tissosisfa l-Equazzjoni ta' Euler-Lagrange:

 

fejn  . Meta nagħmlu l-azzjoni stazzjonarja nkunu qegħdin nimminimizzaw l-enerġija tas-sistema kkunsidrata. L-enerġija totali tas-sistema hi funzjoni  , imsejħa l-Hamiltonjana u introdotta fl-1835 minn William Rowan Hamilton, li tiddipendi mill-koordinati ġeneralizzati   u mill-momenti konjugati rispettivi:

 

Il-Hamiltonjana hi s-somma   tal-enerġija kinetika   u l-enerġija potenzjali   tas-sistema, u hi t-Trasformata ta' Legendre tal-Lagrangejana  :[7][8]

 

fejn  . Il-formalizzazzjoni ta' problema dinamika permezz tal-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (validu għal sistemi olonomi u monogeniċi) hi l-bażi tar-riformulazzjoni tal-Mekkanika Klassika żviluppata mill-Mekkanika Hamiltonjana u Lagrangejana.

Fil-każ partikulari tal-Ekwazzjonijiet ta' Hamilton:

 

huma ekwivalenti għall-ekwazzjonijiet tal-mozzjoni ta' di Eulero-Lagrange, li mbagħad dawn huma ekwivalenti għall-Liġi ta' Newton.[9]

Il-Prinċipju tal-Konservazzjoni tal-Enerġija jiġi espress, f'dal-kuntest, billi ngħidu li   hu integral tal-ewwel tal-ekwazzjonijiet ta' Hamilton, jew bil-fatt li l-Lagrangejana ma tiddependix espliċitament mill-ħin:

 

EżempjuEdit

Fil-Mekkanika Klassika nsibu eżempju elementari ta' sistema dinamika, punt li jimxi fl-ispazju. Il-punt jiġi karatterizzat kompletament mill-pożizzjoni tiegħu   (vettur dipendenti minn  ) u tal-veloċità tiegħu  . L-istat ta' din is-sistema hu il-vettur  , fejn   hu l-ispazju tal-istati użat u l-elementi tiegħu jirrappreżentaw l-istati kollha possibbli li s-sistema jista' jkollha. L-ispazju tal-istati jissejjaħ ukoll l-ispazju tal-fażi. L-evoluzzjoni temporali tal-punt allura jingħata miż-żewġ derivati:

 

fejn   hi l-aċċelerazzjoni tal-punt (li tiddependi mis-somma totali tal-forzi li hi suġġetta għalihom). Jekk niddefinixxu:

 

il-mozzjoni tal-punt tista' tinkiteb bħala l-ekwazzjoni ordinarja awtonoma:

 

Jekk nagħżlu punt u veloċità tal-bidu  , jiġifieri nieħdu  , niksbu l-evoluzzjoni tas-sistema li tibda minn   (Problema ta' Cauchy għall-ekwazzjoni differenzjali).

Is-sistemi dinamiċi ta' ħin kontinwu kollha jistgħu jinkitbu b'mod analogu, b'  li tista' tiddependi mill-ħin: 

fejn  hi funzjoni li mill-inqas hi differenzjabbli.

Is-soluzzjoni   meta tvarja   hi t-traettorja (orbita) li timxi magħha s-sisitema fl-ispazju tal-fażi jekk titlaq minn  . Meta nkunu nlestu biex nistudjaw formalment sistema dinamika, nagħmlu hekk b'mod li l-funzjoni   tkun regolari biżżejjed biex tagħtina soluzzjoni unika, bi qbil mal-fatt li l-evoluzzjoni ta' sistema li titlaq minn punt mogħti hi unika. Inġenerali sistema dinamika   hi definita minn grupp (jew semigrupp)  , li hu s-sett tal-valuri tal-parametru tal-ħin, u sett  , imsejjaħ l-ispazju tal-fażi jew l-ispazju tal-istati. Il-funzjoni tal-evoluzzjoni temporali (il-fluss)   tiddetermina l-azzjoni ta'   fuq  . Fit-teorija ergodika   hu spazju miżurabbli b'miżura ta' probabbiltà   u   hi funzjoni miżurabbli li tippreżerva l- , waqt li f'dik li tissejjaħ topoloġija dinamika   hi spazju topoloġiku komplet u   hi funzjoni kontinwa (spiss anke invertibbli).[10]

Eżempji tipiċi ta' sistemi dinamiċi kontinwi:

  • is-sistema priża-predatur ta' Volterra-Lotka għad-dinamika tal-popolazzjonijiet;
  • is-sistema ta' Lorenz għall-evoluzzjoni tal-kundizzjonijiet meteoroloġiċi.

Eżempji ta' sistemi dinamiċi diskreti:

  • il-mappa loġistika;
  • il-mappa ta' Hénon;
  • il-mappa standard.

ReferenziEdit

  1. ^ (EN) Jinpeng An - Homogeneous Dynamics Mudell:Webarchive
  2. ^ Definizzjoni
  3. ^ Def
  4. ^ Def
  5. ^ (EN) Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  6. ^ (EN) Simon J.A. Malham - An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics
  7. ^ (EN) Britannica - Hamiltonian function
  8. ^ (EN) L.N. Hand, J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  9. ^ (EN) Ernst Hairer - Lecture 1: Hamiltonian systems
  10. ^ Treccani: Enciclopedia del Novecento II Supplemento (1998) - Sistemi dinamici