Reviżjoni ta' 19:03, 14 Ġunju 2009 editja Almabot (diskussjoni \| kontribuzzjonijiet) Bot 279 edits m robot Adding: bn:অন্তরক সমীকরণ ← Differenza preċedenti		Reviżjoni ta' 08:38, 15 Lulju 2009 editja ħassar Xqbot (diskussjoni \| kontribuzzjonijiet) Bot 12,000 edits m robot Adding: sl:Diferencialna enačba; kosmetiċi bidliet Differenza suċċessiva →
Linja 1: Fl-[[Analisi Matematika\|analisi matematika]], '''[[ekwazzjoni]] differenzjali''' hi relazzjoni bejn [[Funzjonijiet (Matematika)\|funzjoni]] <math>{\displaystyle u(x)}</math> [[mhux magħrufa]] u xi [[id-Derivata\|derivati]] tagħha. Fil-każ li <math>{\displaystyle u}</math> tkun funzjoni :<math>u:I\to \R</math> definita f' [[Intervall (matematika)\|intervall]] <math>I\!</math> ta' <math> \mathbb R </math> ngħidu li hi [[ekwazzjoni differenzjali ordinarja]] (imqassra ODE, [[akronimu]] ta' ''ordinary differential equation''). Eżempju ta' ODE hi r-relazzjoni :<math>u''(x)=u(x)+u'(x)\!</math>. Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni <math>\ n</math> hija: :<math>f(x, u(x), u'(x), ..., u^{(n)}(x)) = 0 \!</math>. Insejħu '''ordni''' jew '''grad''' tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; per eżempju: :<math>u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!</math> hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa <math>{\displaystyle u}</math> hi funzjoni ta' <math>{\displaystyle x}</math> biss) tat-tieni ordni. Funzjoni <math>\ u</math> (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha '''soluzzjoni''' tal-ekwazzjoni differenzjali. Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġieba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' [[Kompjuter\|computer]] biex insibu approssimazzjoni permezz ta' [[analisi numerika\|metodi numeriċi]]. Matul is-sekli, mindu [[Gottfried Leibniz\|Leibniz]] u [[Isaac Newton\|Newton]] ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri <math>\ y=f(x)\;</math>, u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma :<math>f(y)=g(x),\;\!</math> li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk <math>\ f</math> hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna Linja 23: == Motivazzjoni == L-''ekwazzjonijiet differenziali'' huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-[[analisi matematika]] għall-istudju ta' [[mudell matematiku\|mudelli matematiċi]] fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-[[fiżika]] għall-[[bijoloġija]] għall-[[ekonomija]]. Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu <math>\left( t=0 \right) \; </math> minn <math>P_0\;</math> individwi u nsejħu <math>P(t)\;</math> il-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t}</math>. Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt <math>{\displaystyle t}</math>, wara ħin relativament żgħir <math>{\displaystyle dt}</math> titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda <math>{\displaystyle dt}</math>, jiġifieri daqs <math>n P(t)\, dt </math> fejn <math>n</math> hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu <math>m P(t)\, dt</math> individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn <math>m\;</math> hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t+dt}</math>, għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t}</math> li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri :<math>P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt. \!</math> Linja 43: [[funzjoni esponenzjali]] li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk <math>{\displaystyle n>m<}</math>, jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk <math>{\displaystyle m>n}</math>. Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, per eżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal per eżempju predi u predaturi fil-[[ekwazzjonijiet ta' Volterra - Lotka\|mudell ta' Volterra - Lotka]]. Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom [[analisi numerika\|numerikament]], jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment ''kundizjonijiet inizjali'' jew ''tax-xifer''. == Problema ta' Cauchy == Il-[[problema ta' Cauchy]] assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-[[kundizzjoni tax-xifer\|kundizzjoni inizjali]]. Bil-formuli: :<math>\begin{cases}f(x,y,y',y'', \dots , y^n)=0\ \ \rm{in}\ \ (a,b)\\ y(a)=y_0 \\ Linja 55: \end{cases}</math> == L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata == L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni <math>\ y(x)</math>, mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja <math>\ \lambda</math> b'poter rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta' <math>\ y</math> waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti. Per eżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali <math>\ y''-5y'+6y=0\;</math>, nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja <math>\ \lambda</math> skont ir-regola indikata fuq u niksbu <math>\ \lambda^2-5\lambda+6=0\;</math>. == Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali == [[Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali]] (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi ''partial differential equation'') hi [[ekwazzjoni]] li tinvolvi d-[[derivata parziale\|derivati parzjali]] ta' [[funzjoni (matematika)\|funzjoni]] mhux magħrufa. Fil-każ li <math>\ u</math> tkun funzjoni ta' <math>\ k</math> varjabbli reali indipendenti <math>\ (x_1,\ldots,x_k)</math>, jiġifieri <math>\ u=u(x_1,\ldots,x_k)\!</math>, ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni <math>\ n</math>, jkollha l-forma ġenerali: :<math> f \left ( x_1, \ldots , x_k , u , \ldots, {{\partial u}\over{\partial x_1^n}}, \ldots, {{\partial u}\over{\partial x_k^n}} \right ) = 0 ,</math> jekk <math>\ f</math> tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni <math>\ n</math> ta' <math>\ u</math> . L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni. == Biblijografija == * G. Boole ''[http://gallica.bnf.fr/document?O=N099509 A treatise on differential equations]'' (McMillan, Cambridge, 1859) * W. W. Johnson ''[http://name.umdl.umich.edu/ABV5010.0001.001 A treatise on ordinary and partial differential equations.] (J. Wiley & Sons, New York, 1889) * E. Goursat ''[http://name.umdl.umich.edu/ABA9351.0003.001 A course of mathematical analysis, part II of volume II]'' (Ginn & co. 1917) * E. L. Ince ''[http://www.archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp Ordinary Differential Equations]'' (Longman Greens, London, 1927) * A. R. Forsyth ''[http://www.archive.org/details/ATreatiseOnDifferentialEquations A Treatise On Differential Equations]'' (MacMillan, London, 1929) * E. G. C. Poole ''[http://www.archive.org/details/introductiontoth033472mbp Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations]'' (Clarendon Press, Oxford, 1936) * E. Picard ''[http://www.archive.org/details/traitedanalyse03picarich Traité d'Analyse (vol. 3)]'' (Gauthier-Villars, 1896) * C. Jordan ''[http://www.archive.org/details/coursdanalysedel03jordrich Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3)]'' (Gauthier-Villars, 1913) == Ħoloq esterni == {{portal\|Matematika\|P_math.png\|1px}} [http://eqworld.ipmnet.ru/ EqWorld] [http://mathworld.wolfram.com/DifferentialEquation.html MathWorld] [[~~Category~~Kategorija:Matematika]] [[af:Differensiaalvergelyking]] Linja 122: [[simple:Differential equation]] [[sk:Diferenciálna rovnica]] [[sl:Diferencialna enačba]] [[sr:Диференцијална једначина]] [[sv:Differentialekvation]]

Ekwazzjoni differenzjali: Differenza bejn il-verżjonijiet