L-Integral

Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storiku

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju:

$x^{\alpha }(\alpha >-1)\;$ (Fermat 1636),

$\displaystyle {1/x}$ (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristika

Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall $\ I$ fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija $\ f$ (il-funzjoni integrata) definita fuq $\ I$ u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall $\ I$ għall-grafiku tal-funzjoni $\ f$. In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni $\ f$ fuq l-intervall $\ I$.

Jekk il-grafiku tal-funzjoni $\ f$ hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni $\ f$ hi integrabbli fuq l-intervall $\ I$. Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni $\ f$ m'hijiex integrabbli fuq l-intervall $\ I$.

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall $\ [a,b]$ f'$\ n$ sottointervalli tat-tip $\ [x_{s-1},x_{s}]$ fejn $\ s=1,2,...,n$ u $\ x_{0}=a;x_{n}=b$. Għal kull sottointervall nagħżlu punt $\ t_{s}$, li l-immaġni tiegħu hi $\ f(t_{s})$, u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall $\ [x_{s-1},x_{s}]$ u għoli $\ f(t_{s})$; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)

$\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\delta x_{s}:=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})$ .

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli $\ \delta x_{s}=x_{s}-x_{s-1}$, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru $\ i$, il-funzjoni $\ f$ hi integrabbli fuq l-intervall $\ [a,b]$, u $\ i$ hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' Riemann

Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt $\ [a,b]$ permezz ta' partizzjoni $\displaystyle {P}$ f'$\displaystyle {n}$ sottointervalli :

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$,

Ħalli jkunu

• $m_{k}=\inf\{f(x):x\in [x_{k-1},x_{k}]\}$

• $M_{k}=\sup\{f(x):x\in [x_{k-1},x_{k}]\}.$

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni $\displaystyle {P}$):

$s(f,P)=\sum _{k=1}^{n}m_{k}(x_{k}-x_{k-1}).$

Jekk nammettu li $\displaystyle {f}$ tieħu valuri pożittivi fl-intervall, $\displaystyle {s(f,P)}$ hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan $\mathbb {R}$, taħt il-grafiku ta' $\displaystyle {f}$.

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni $\displaystyle {P}$):

$S(f,P)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(x_{k}-x_{k-1})$

Analogament, $\displaystyle {S(f,P)}$ hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun $\mathbb {R}$.

Jidher ċar li jekk $m\leq f(x)\leq M,\ \forall x\in [a,b]$ imbagħad għal kull partizzjoni $\displaystyle {P}$ ta' $\displaystyle {[a,b]}\$:

$m(b-a)\leq s(f,P)\leq S(f,P)\leq M(b-a)$.

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Lemma 1.:

Jekk $\displaystyle {P}$ u $\displaystyle {Q}$ huma partizzjonijiet ta' $\displaystyle {[a,b]}$ u $\displaystyle {Q}$ hija rfinament ta' $\displaystyle {P}\$:

$s(f,P)\leq s(f,Q)\leq S(f,Q)\leq S(f,P)$.

Lemma 2.:

Għal kull żewġ partizzjonijiet $\displaystyle {P,Q}$ ta' $\displaystyle {[a,b]}\$:

$s(f,P)\leq S(f,Q)$.

Ħalli jkunu

$s(f)\displaystyle {=}\sup\{s(f,P):P$ partizzjoni ta' $\displaystyle {[a,b]}\}$, $S(f)\displaystyle {=}\inf\{S(f,P):P$ partizzjoni ta' $\displaystyle {[a,b]}\}$.

$\displaystyle {s(f)}$ ngħidulu l-integral inferjuri u $\displaystyle {S(f)}$ l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

$s(f)\leq S(f).$

Definizzjoni

Definizzjoni: Integral skont Riemann

Jekk $\displaystyle {s(f)=S(f)}$ ngħidu li l-funzjoni $\displaystyle {f}$ hi integrabbli skont Riemann fuq l-intervall magħluq limitat $\ [a,b]$ u l-valur kommuni ngħidulu l-integral ta' $\displaystyle {f}$ fuq $\ [a,b]$ u nuruh bis-simbolu:

$\int _{a}^{b}\!\!f(x){\rm {d}}x.$

In-numri $\displaystyle {a}$, $\displaystyle {b}$ ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u $\displaystyle {f}\$ l-integrand ($\displaystyle {a}$ l-ewwel tarf, $\displaystyle {b}$ it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri $\int \!\!\!f(x){\rm {d}}x$ tfisser l-istess bħal $\int \!\!\!f(t){\rm {d}}t$. Id-$\displaystyle {{\rm {d}}x}$ insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli $\displaystyle {f}$ hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:

$\{(x,y)\ |\ 0\leq y\leq f(x),\ x\in [a,b]\}.$

Jekk il-funzjoni $\displaystyle {f}$ tibdel is-sinjal fuq $\displaystyle {[a,b]}$ l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-sinjal differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.

Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall $\displaystyle {\ [a,b]}$ f'sottointervalli ugwali ta' tul $\displaystyle {(b-a)/n}$. Jekk il-limiti ta' $\displaystyle {s(f,P_{n})}$ u ta' $\displaystyle {S(f,P_{n})}$ meta $\displaystyle {n}$ tersaq lejn l-infinit huma l-istess, imbagħad ikollna

$s(f)\geq \lim _{n\to \infty }s(f,P_{n})=\lim _{n\to \infty }S(f,P_{n})\geq S(f)$

u allura, la $\displaystyle {s(f)\leq S(f)}$, ikollna wkoll

$\displaystyle {s(f)=S(f).}$

Eżempju 1.

Ħalli $\displaystyle {f(x)=x^{2}}$ u l-intervall ikun $\displaystyle {\ [0,1]}$. Imbagħad

$\displaystyle {M_{k}=\sup\{x^{2}\,|\,x\in [(k-1)/n,k/n]\}=(k/n)^{2}}$

u

$\displaystyle {m_{k}=\inf\{x^{2}\,|\,x\in [(k-1)/n,k/n]\}=((k-1)/n)^{2}}.$

Mela

$\displaystyle {S(f,P_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {k}{n}}\right)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {1}{3}}\left({\frac {n+1}{n}}\right)\left({\frac {2n+1}{2n}}\right),}$

fejn użajna l-formula $\displaystyle {1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}=n(n+1)(2n+1)/6}$.

Bl-istess mod

$\displaystyle {s(f,P_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {k-1}{n}}\right)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n-1}k^{2}={\frac {1}{3}}\left({\frac {n-1}{n}}\right)\left({\frac {2n-1}{2n}}\right).}$

Allura

$\int _{0}^{1}x^{2}{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }s(f,P_{n})=\lim _{n\to \infty }S(f,P_{n})={\frac {1}{3}}.$

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni $\displaystyle {g:[0,1]\mapsto \mathbb {R} }$ definita hekk

${g(x)={\begin{cases}1,\ \mathrm {jekk} \ x\ \mathrm {hija\ razzjonali} \\0,\ \mathrm {jekk} \ x\ \mathrm {hija\ rrazzjonali} .\end{cases}}}$

Għal kull partizzjoni tal-intervall $\displaystyle {[0,1]}$, f'kull sottointervall $\displaystyle {[x_{k-1},x_{k}]}$ hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela $\displaystyle {M_{k}=1}$ u $\displaystyle {m_{k}=0}$. Għalhekk

$s(g,P)=\sum _{k=1}^{n}m_{k}(x_{k}-x_{k-1})=0$ $s(g,P)=\sum _{k=1}^{n}m_{k}(x_{k}-x_{k-1})=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})=1.$

Mela $\displaystyle {s(g)=0}$ u $\displaystyle {S(g)=1}$. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni $\displaystyle {g}$ mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

Teorema 1: Kundizzjoni meħtieġa u biżżejjed għall-integrabbiltà

Halli $\displaystyle {f}$ tkun funzjoni limitata fuq $\displaystyle {[a,b]}$. Imbagħad $\displaystyle {f}$ hi integrabbli jekkk (jekk u biss jekk), għal kull $\displaystyle {\epsilon \,>\,0}$, teżisti partizzjoni $\displaystyle {P}$ ta' $\displaystyle {[a,b]}$ li għaliha

$\displaystyle {S(f,P)-s(f,p)<\epsilon .}$

Prova : Nissoponu li $\displaystyle {f}$ hi integrabbli u hekk $\displaystyle {S(f)=s(f)}$. Għall kull $\displaystyle {\epsilon >0}$ mogħtija, teżisti partizzjoni $\displaystyle {P_{1}}$ ta' $\displaystyle {[a.b]}$ li tissodisfa

$\displaystyle {s(f,P_{1})>s(f)-{\frac {\epsilon }{2}}.}$

(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni $\displaystyle {P_{2}}$ ta' $\displaystyle {[a.b]}$ li tissodisfa

$\displaystyle {S(f,P_{2})<S(f)+{\frac {\epsilon }{2}}.}$

Ħalli $\displaystyle {P=P_{1}\cup P_{2}}$. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

$\displaystyle {S(f,P)-s(f,P)\leq S(f,P_{2})-s(f,P_{1})<\left(S(f)+{\frac {\epsilon }{2}}\right)-\left(s(f)-{\frac {\epsilon }{2}}\right)=S(f)-s(f)+\epsilon =\epsilon .}$

Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull $\displaystyle {\epsilon >0}$ mogħtija, teżisti partizzjoni $\displaystyle {P}$ ta' $\displaystyle {[a.b]}$ li tissodisfa $\displaystyle {S(f,P)<s(f,P)+\epsilon }$. Allura

$\displaystyle {S(f)\leq S(f,P)<s(f,P)+\epsilon \leq s(f)+\epsilon .}$

La $\displaystyle {\epsilon }$ hi arbitrarja, bilfors li $\displaystyle {S(f)\leq s(f)}$ u allura $\displaystyle {S(f)=s(f)}$ u $\displaystyle {f}$ hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont Riemann

Integrabbiltà

Proprijetà 1: Il-monotonija hi biżżejjed għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni $\ f:[a,b]\to \mathbb {R}$ hi monotona, allura hi integrabbli.

Prova: Nissoponu li l-funzjoni $\ f$ tiżdied fuq $\ [a,b]$. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw $\epsilon >0$, nistgħu nagħzlu $\delta >0$ li tissodisfa

$\delta <{\frac {\epsilon }{f(b)-f(a)}}.$

Ħalli $P$ tkun partizzjoni tal-intervall $\ [a,b]$ f'sottointervalli $\ [x_{k-1},x_{k}]$ ta' wisa' inqas minn $\delta$. Mill-monontonija għandna li $\ M_{k}=f(x_{k})$ u $\ m_{k}=f(x_{k-1})$. Mela

$0<S(f,P)-s(f,P)=\sum _{k=1}^{n}(f(x_{k})-f(x_{k-1}))(x_{k}-x_{k-1})<{\frac {\epsilon }{f(b)-f(a)}}\sum _{k=1}^{n}(f(x_{k})-f(x_{k-1}))=\epsilon .$

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Proprijetà 2: Il-kontinwità hi suffiċjenti għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni $\ f:[a,b]\to \mathbb {R}$ hi kontinwa, allura hi integrabbli.

Prova: La l-funzjoni $\ f:[a,b]\to \mathbb {R}$ hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw $\epsilon >0$, teżisti $\delta >0$ li għaliha

$|f(x)-f(y)|<{\frac {\epsilon }{b-a}}$

kull meta $|x-y|<\delta$. Jekk $P$ hi partizzjoni tal-intervall $\ [a,b]$ f'sottointervalli $\ [x_{k-1},x_{k}]$ ta' wisa' inqas minn $\delta$, imbagħad ikollna

$0<M_{k}-m_{k}<{\frac {\epsilon }{b-a}}$

u mela

$0<S(f,P)-s(f,P)=\sum _{k=1}^{n}(M_{k}-m_{k})(x_{k}-x_{k-1})<{\frac {\epsilon }{b-a}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})=\epsilon .$

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Linjarità

Proprijetà 3: Il-proprijetà tal-linjarità

Ħalli $f$ u $g$ jkunu żewġ funzjonijiet kontinwi definiti f'intervall $[a,b]$ u ħalli jkunu $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Imbagħad:

$\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)dx+\beta \int _{a}^{b}g(x){\rm {d}}x.$

Prova: Jekk $\displaystyle {\alpha \geq 0}$ jidher ċar li $\displaystyle {S(\alpha f)=\alpha S(f)}$ u $\displaystyle {s(\alpha f)=\alpha s(f)}$. Mela la

$\displaystyle {S(f)=s(f)=\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x,}$

għandna

$\displaystyle {\int _{a}^{b}\alpha f(x){\rm {d}}x=S(\alpha f)=s(\alpha f)=\alpha \int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x.}$

B'mod simili jekk $\displaystyle {\alpha <0}$ għandna $\displaystyle {S(\alpha f)=\alpha s(f)}$ u $\displaystyle {s(\alpha f)=\alpha S(f)}$ u allura

$\displaystyle {\int _{a}^{b}\alpha f(x){\rm {d}}x=\alpha \int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x.}$

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

$\ \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x+\int _{a}^{b}g(x){\rm {d}}x.$

Niftakru li

$\ \sup _{x\in D}[f(x)+g(x)]\leq \sup _{x\in D}f(x)+\sup _{x\in D}g(x)\ \ \ {\rm {u}}\ \ \ \inf _{x\in D}([f(x)+g(x)])\geq \inf _{x\in D}f(x)+\inf _{x\in D}g(x)$

u għalhekk għal kull partizzjoni $\displaystyle {P}$ ta' $\displaystyle {[a,b]}$

$\ S(f+g,P)\leq S(f,P)+S(g,P)\ \ \ {\rm {u}}\ \ \ s(f+g,P)\geq s(f,P)+s(g,P).$

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull $\displaystyle {\epsilon >0}$ mogħtija, jeżistu partizzjonijiet $\displaystyle {P_{1}}$ u $\displaystyle {P_{2}}$ ta' $\displaystyle {[a,b]}$ li jissodisfaw

$\displaystyle {S(f,P_{1})<s(f,P_{1})+{\frac {\epsilon }{2}}\ \ \ {\rm {u}}\ \ \ S(g,P_{2})<s(g,P_{2})+{\frac {\epsilon }{2}}.}$

Ħalli $\displaystyle {P=P_{1}\cup P_{2}}$. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

$\displaystyle {S(f,P)<s(f,P)+{\frac {\epsilon }{2}}\ \ \ {\rm {u}}\ \ \ S(g,P)<s(g,P)+{\frac {\epsilon }{2}}.}$

Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu

$\displaystyle {S(f+g,P)<S(f,P)+S(g,P)<s(f,P)+s(g,P)+\epsilon <s(f+g,P)+\epsilon }$

u allura l-funzjoni $\displaystyle {f+g}$ hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,{\rm {d}}x&{}=S(f+g)\leq S(f+g,P)\\&{}<s(f,P)+s(g,P)+\epsilon \\&{}\leq s(f)+s(g)+\epsilon =\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x+\epsilon \end{aligned}}$

u

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,{\rm {d}}x&{}=s(f+g)\geq s(f+g,P)\\&{}>S(f,P)+S(g,P)-\epsilon \\&{}\geq S(f)+S(g)-\epsilon =\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x-\epsilon \end{aligned}}$

nikkonkludu li

$\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x.$

Additività

Proprijetà 4: Il-proprijetà tal-additività

Jekk $f$ tkun integrabbli fuq l-intervalli $\displaystyle {[a,c]}$ u $\displaystyle {[c,b]}$, imbagħad tkun integrabbli fuq l-intervall $\displaystyle {[a,b]}$ u

$\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x=\int _{a}^{c}f(x){\rm {d}}x+\int _{c}^{b}f(x){\rm {d}}x.$

Prova:

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull $\displaystyle {\epsilon >0}$ mogħtija, jeżistu partizzjonijiet $\displaystyle {P_{1}}$ ta' $\displaystyle {[a,c]}$ u $\displaystyle {P_{2}}$ ta' $\displaystyle {[c,b]}$ li jissodisfaw

$\displaystyle {S(f,P_{1})-s(f,P_{1})<{\frac {\epsilon }{2}}\ \ \ {\rm {u}}\ \ \ S(f,P_{2})-s(f,P_{2})<{\frac {\epsilon }{2}}.}$

Ħalli $\displaystyle {P=P_{1}\cup P_{2}}$. Din partizzjoni ta' $\displaystyle {[a,b]}$ u għandna

$\displaystyle {S(f,P)-s(f,P)=S(f,P_{1})+S(f,P_{2})-s(f,P_{1})-s(f,P_{2})=(S(f,P_{1})-s(f,P_{1}))+(S(f,P_{2})-s(f,P_{2}))<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon .}$

Mela $\displaystyle {f}$ hi integrabbli fuq $\displaystyle {[a,b]}$.

Nin-naħa l-oħra, la

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x&{}\leq S(f,P)=S(f,P_{1})+S(f,P_{2})\\&{}<s(f,P_{1})+s(f,P_{2})+\epsilon \\&{}\leq \int _{a}^{c}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{c}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x+\epsilon \end{aligned}}$

u

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x&{}\geq s(f,P)=s(f,P_{1})+s(f,P_{2})\\&{}>S(f,P_{1})+S(f,P_{2})-\epsilon \\&{}\geq \int _{a}^{c}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{c}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x-\epsilon \end{aligned}}$

nikkonkludu li

$\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x=\int _{a}^{c}f(x){\rm {d}}x+\int _{c}^{b}f(x){\rm {d}}x$

kif nixiequ.

Monotonija

Proprijetà 5: Il-propijetà tal-monotonija

Jekk ${\displaystyle f}$ u $\ {\displaystyle g}$ ikunu żewġ funzjonijiet integrabbli fuq l-intervall $\ [a,b]$ u $f(x)\leq g(x)$ għal kull $\ x\in [a,b]$, imbagħad $\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x\leq \int _{a}^{b}g(x){\rm {d}}x.$

Prova : Jekk $f(x)\leq g(x)$ għal kull $\ x\in [a,b]$, għal kull partizzjoni $\displaystyle {P}$ ta' $\displaystyle {[a,b]}$ ikollna

$\ S(f,P)\leq S(g,P)\ \ \ {\rm {u}}\ \ \ s(f,P)\leq s(g,P)$

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolut

Teorema: Teorema tal-valur assolut

Jekk $f$ tkun integrabbli fl-intervall $\ [a,b]$, imbagħad $|f|$ hi wkoll integrabbli u $\left|\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|{\rm {d}}x.$

Prova: Ħalli $\displaystyle {P}$ tkun partizzjoni ta' $\displaystyle {[a,b]}$ f'$\displaystyle {n}$ sottointervalli

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$,

u

${\tilde {m}}_{k}=\inf\{|f(x)|:x\in [x_{k-1},x_{k}]\},\ \ {\tilde {M}}_{k}=\sup\{|f(x)|:x\in [x_{k-1},x_{k}]\}.$

Mid-diżugwaljanza

$|f(x)|-|f(y)|\leq |f(x)-f(y)|\leq M_{k}-m_{k}$

għal kull $\displaystyle {x,y\in [x_{k-1},x_{k}]}$, nikkonkludu li

${\tilde {M}}_{k}-{\tilde {m}}_{k}\leq M_{k}-m_{k}$

u allura

$S(|f|,P)-s(|f|,P)\leq S(f,P)-s(f,P).$

Mela la $\displaystyle {f}$ hi integrabbli, $\displaystyle {|f|}$ hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni $\pm f(x)\leq |f(x)|$ valida għal kull $x\in [a,b]$.

Teorema tal-medja

Teorema: Teorema integrali tal-medja

Jekk $f:[a,b]\to \mathbb {R} \!$ tkun kontinwa imbagħad teżisti $c\in [a,b]\!$ li għaliha

${{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=f(c).\!$

Prova: La $f\!$ hi kontinwa f'$[a,b]\!$, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu $M\!$ u minimu $m\!$ f'$[a,b]\!$:

$\sup _{x\in [a,b]}f(x)=M{\mbox{ u }}\inf _{x\in [a,b]}f(x)=m.\!$

Mela

$m\leq f(x)\leq M\!.$

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

$m(b-a)=\int _{a}^{b}m\,{\rm {d}}x\leq \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\leq \int _{a}^{b}M\,{\rm {d}}x=M(b-a)\!$

u allura

$m\leq {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\leq M.\!$

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li $f\!$ f' $[a,b]\!$ trid tieħu il-valuri kollha f'$[m,M]\!$. Allura, in partikulari teżisti $c\in [a,b]\!$ li tissodisfa $f(c)={{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x$.

Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali

F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Jekk $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ tkun kontinwa, imbagħad il-funzjoni integrali $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ definita bħala

$F(x):=\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t$

tkun derivabbli f' $\displaystyle {[a,b]}$ u jkollha derivata $F^{\prime }(c)=f(c)$ għal kull $c\in [a,b]$.

Prova: Nieħdu $c\in [a,b]$. Imbagħad għal kull $\displaystyle {\epsilon >0}$ mogħtija, teżisti $\displaystyle {\delta >0}$ li għaliha

$\displaystyle {|f(t)-f(c)|<\epsilon ,}$

jekk $|t-c|\leq \delta .$ Jidher ċar li

$f(c)={\frac {1}{\delta }}\int _{c}^{c+\delta }f(c){\rm {d}}t$

u li

${\frac {F(c+\delta )-F(c)}{\delta }}={\frac {1}{\delta }}\int _{c}^{c+\delta }f(t){\rm {d}}t.$

Allura għandna

${\frac {F(c+\delta )-F(c)}{\delta }}-f(c)={\frac {1}{\delta }}\int _{c}^{c+\delta }(f(t)-f(c)){\rm {d}}t$

u għalhekk

$\left|{\frac {F(c+\delta )-F(c)}{\delta }}-f(c)\right|\leq {\frac {1}{\delta }}\int _{c}^{c+\delta }|f(t)-f(c)|{\rm {d}}t.$

Mela ${\frac {F(c+\delta )-F(c)}{\delta }}$ tikkonverġi lejn $\displaystyle {f(c)}$ meta $\displaystyle {\delta }$ tersaq lejn 0, u allura

$F'(c):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {F(c+\delta )-F(c)}{\delta }}=f(c).$

Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni $\ F$ derivabbli f'intervall $\ [a,b]$ ngħidulha l-primittiva ta' $\ f$ f' $\ [a,b]$ jekk:

$\ F'(x)=f(x)$

għal kull $x\in [a,b]$.

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Jekk $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ tkun derivabbli, u d-derivata $f'$ tkun integrabbli, imbagħad

$\int _{a}^{b}f'(t){\rm {d}}t=f(b)-f(a).$

Prova: Ħalli $\displaystyle {P}$ tkun partizzjoni ta' $\displaystyle {[a,b]}$ f'$\displaystyle {n}$ sottointervalli

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b\},$

u

${\tilde {m}}_{k}=\inf\{f'(x):x\in [x_{k-1},x_{k}]\},\ \ {\tilde {M}}_{k}=\sup\{f'(x):x\in [x_{k-1},x_{k}]\}.$

Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall $\displaystyle {[x_{k-1},x_{k}]}$, niksbu punti $\displaystyle {t_{k}\in (x_{k-1},x_{k})}$, li għalihom

$\displaystyle {f(x_{k})-f(x_{k-1}=f'(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}).}$

Mela għandna

$f(b)-f(a)=\sum _{k=1}^{n}[f(x_{k})-f(x_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f'(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}).$

La $\displaystyle {{\tilde {m}}_{k}}\leq f(t_{k})\leq {\tilde {M}}_{k}$ għal kull $\displaystyle {k}$, isegwi li

$s(f',P)\leq f(b)-f(a)\leq S(f',P).$

La din hi valida għal kull partizzjoni $\displaystyle {P}$, għandna wkoll

$s(f')\leq f(b)-f(a)\leq S(f').$

Imma qegħdin nassumu li $\displaystyle {f'}$ hi integrabbli fuq $\displaystyle {[a,b]}$, u għalhekk

$s(f')=S(f')=\int _{a}^{b}f'(t){\rm {d}}t.$

Allura

$\int _{a}^{b}f'(t){\rm {d}}t=f(b)-f(a).$

Integrali impropri

Ngħidu li l-funzjoni $f$ hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip $[a,\infty )$ jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni |$f$| hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip $[a,\infty ]$:

Teorema: Teorema tal-integrabbiltà assoluta

Jekk $f$ tkun assolutament integrabbli, imbagħad tkun ukoll integrabbli.

Prova: Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex $\int _{a}^{\infty }f(x){\rm {d}}x$ jeżisti u hu finit hi li

$\forall \epsilon >\ 0\quad \exists \gamma >\ 0:\quad \forall x_{1},x_{2}<\ \gamma \quad \left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\rm {d}}x\right|<\ \epsilon .$

Mill-integrabbiltà ta' $\ |f|$ nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu $\ |f(x)|$ minflok $\ f(x)$:

$\forall \epsilon >\ 0\quad \exists \gamma >\ 0:\quad \forall x_{1},x_{2}<\ \gamma \quad \left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\right|{\rm {d}}x\right|<\ \epsilon .$

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna

$\left|\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|{\rm {d}}x.$

U mela nistgħu niktbu

$\forall \epsilon >\ 0\quad \exists \gamma >\ 0:\quad \forall x_{1},x_{2}<\ \gamma \quad \int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x){\rm {d}}x\right|<\ \epsilon .$

Mill-liema niksbu li $\ f$ hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

${{\sin x} \over {x}}.$

L-integral skont Lebesgue

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall $\displaystyle {[a,b]}$ f'settijiet iżjed ġenerali.

Bibljografija

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri

Ħoloq esterni

Portal Matematika

• L-Integral - Kalkolu foramli ta' primittivi
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)