Ekwazzjoni differenzjali: Differenza bejn il-verżjonijiet

definita f’f' [[Intervall (matematika)|intervall]] <math>I\!</math> ta’ta' <math> \mathbb R </math> ngħidu li hi [[ekwazzjoni differenzjali ordinarja]] (imqassra ODE, [[akronimu]] ta’ta' ''ordinary differential equation'').

Eżempju ta’ta' ODE hi r-relazzjoni

Il-forma l-iżjed ġenerali ta’ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta’ta' ordni <math>n</math> hija:

Insejħu '''ordni''' jew '''grad''' ta’ ltal-ekwazzjoni, il-grad ta’ ltal-ogħla derivata preżenti; per eżempju:

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa <math>{\displaystyle u}</math> hi funzjoni ta’ta' <math>{\displaystyle x}</math> biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni <math>u</math> (derivabbli għal ċertu numru ta’ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha '''soluzzjoni''' ta’ ltal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta’ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġieba tagħha kwalitativa jew ninqdew b’b' [[Kompjuter|computer]] biex insibu approssimazzjoni permezz ta’ta' [[analisi numerika|metodi numeriċi]].

li tista’tista' tinbidel f’formaf'forma espliċita biss jekk <math>f</math> hi invertibbli, u f’dalf'dal-każ ikollna :<math>y=f^{-1}\left( g(x) \right ).</math>

L-''ekwazzjonijiet differenziali'' huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-[[analisi matematika]] għall-istudju ta’ta' [[mudell matematiku|mudelli matematiċi]] fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-[[fiżika]] għall-[[bijoloġija]] għall-[[ekonomija]].

Eżempju elementari ħafna ta’ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta’ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta’ta' batteri komposta fil-bidu <math>\left( t=0 \right) \; </math> minn <math>P_0\;</math> individwi u nsejħu <math>P(t)\;</math> il-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t}</math>. Wieħed jistenna li, fil-medja, f’kullf'kull waqt <math>{\displaystyle t}</math>, wara ħin relativament żgħir <math>{\displaystyle dt}</math> titwieled kwantità ta’ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda <math>{\displaystyle dt}</math>, jiġifieri daqs <math>n P(t)\, dt </math> fejn <math>n</math> hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu <math>m P(t)\, dt</math> individwi fl-istess intervall ta’ta' ħin, fejn <math>m\;</math> hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t+dt}</math>, għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin <math>{\displaystyle t}</math> li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri

Nistgħu nagħrfu f’dinf'din l-espressjoni ir-[[rapport inkrementali]] tal-funzjoni <math>{\displaystyle P(t)}</math>; jekk <math>{\displaystyle dt}</math> hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwixxuh bid-[[id-Derivata|derivata]] <math> {\displaystyle P'(t)} </math> u niktbu:

Din hi ''ekwazzjoni differenzjali ordinarja ta’ ltal-ewwel ordni''. Ir-''riżolużzjoni'' ta’ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġieba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni <math>P(t)\;</math> li tissodisfa.

F’dalF'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

[[funzjoni esponenzjali]] li tiżdied mal-ħin (b’modb'mod "esplużiv") jekk <math>{\displaystyle n>m<}</math>, jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk <math>{\displaystyle m>n}</math>.

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b’kostantib'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, per eżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal per eżempju predi u predaturi fil-[[ekwazzjonijiet ta’ta' Volterra - Lotka|mudell ta’ta' Volterra - Lotka]].

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta’ta' ekwazzjonijiet differenzjali b’modb'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom [[analisi numerika|numerikament]], jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta’ta' kalkulatur fl-inħawi ta’ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ ta’ ltal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni ta’ ltal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta’ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment ''kundizjonijiet inizjali'' jew ''tax-xifer''.

==Problema ta’ta' Cauchy==

Il-[[problema ta’ta' Cauchy]] assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni ta' ltal-ekwazzjonijiet u tal-[[kundizzjoni tax-xifer|kundizzjoni inizjali]]. Bil-formuli:

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma’ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni <math>y(x) </math>, mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja <math> \lambda</math> b’poterb'poter rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta’ta' <math>y</math> waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Per eżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali <math>y''-5y'+6y=0\;</math>, nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja <math>\lambda</math> skondskont ir-regola indikata fuq u niksbu <math>\lambda^2-5\lambda+6=0\;</math>.

[[Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali]] (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi ''partial differential equation'') hi [[ekwazzjoni]] li tinvolvi d-[[derivata parziale|derivati parzjali]] ta’ta' [[funzjoni (matematika)|funzjoni]] mhux magħrufa.

Fil-każ li ''u'' tkun funzjoni ta’ta' <math>k</math> varjabbli reali indipendenti <math>(x_1,\ldots,x_k)</math>, jiġifieri <math> u=u(x_1,\ldots,x_k)\!</math>, ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta’ta' ordni <math>n</math>, jkollha l-forma ġenerali:

jekk <math>f</math> tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta’ta' ordni <math>n</math> ta’ta' <math>u</math> .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta’ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni ta’ ltal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.