Analisi armonika: Differenza bejn il-verżjonijiet

L-'''analisi armonika''' hi l-fergħa tal-[[matematika]] li tistudja r-rappreżentazzjoni tal-funzjonijiet u tas-sinjali bħala sovrappożizzjoni ta’ta' mewġ fundamentali. Il-mewġ fundamentali jgħidulhom "[[armonika|armoniċi]]", minn fejn ġej l-isem "analisi armonika". Fl-analisi armonika ninvestigaw u niġġeneralizzaw l-idejat tas-[[serje ta’ta' Fourier]] u t-[[Trasformata ta' Fourier|trasformata ta’ta' Fourier]]. Fl-aħħar żewġ sekli l-analisi armonika saret suġġett vast ħafna b’applikazzjonijietb'applikazzjonijiet f’bostaf'bosta oqsma bħall-[[elaborazzjoni numerika tas-sinjali]], il-[[mekkanika kwantistika]] u n-[[newroxjenzi]].

It-trasformata ta’ta' Fourier klassika fuq '''Rⁿ''' għadha l-oġġett ta’ta' riċerka, in partikulari t-trasformazzjoni ta’ta' Fourier ta’ta' oġġetti iżjed ġenerali bħad-[[distribuzzjoni temperata|distribuzzjonijiet temperati]]. Per eżempju jekk nimponu ċerti ħtiġijiet fuq distribuzzjoni ''f'', nistgħu nittraduċuhom f’terminif'termini tat-trasformata ta’ta' Fourier ta’ta' ''f''. It-[[teorema ta’ta' Paley-Wiener]] hu eżempju ta’ta' dan. Dan it-teorema jgħid li jekk ''f'' tkun [[distribuzzjoni (matematika)|distribuzzjoni]] mhux nulla b’b'[[support kompatt]] (din id-definizzjoni tinkludi wkoll il-funzjonijiet b’supportb'support kompatt), imbagħad it-trasformata ta’ta' Fourier tagħha ma jistgħax ikollha support kompatt. Din hi forma elementari ħafna tal-[[prinċipju ta’ta' indeterminazzjoni]] fl-ambitu ta’ta' l-analisi armonika.

Is-serji ta’ta' Fourier nistgħu nistudjawhom ukoll fil-kuntest ta’ta' l-i[[spazju ta’ta' Hilbert|spazji ta’ta' Hilbert]], u hekk nagħmlu rabta bejn l-analisi armonika u l-[[analisi funzjonali]].

Waħda mill-friegħi l-iżjed moderni ta’ta' l-analisi armonika, li bdiet fit-tieni nofs tas-seklu 20, hi l-[[Analisi Matematika|analisi matematika]] fuq il-[[grupp topologiku|gruppi topologiċi]]. Il- motivazzjoni ewlenija hi l-fatt li nistgħu niġġeneralizzaw bosta [[Trasformata ta' Fourier|trasformati ta’ta' Fourier]] għal trasformata ta’ta' [[Funzjonijiet (Matematika)|funzjonijiet]] definiti fuq [[kompattezza lokali|gruppi lokalment kompatti]].

It-teorija għall-[[grupp abeljan|gruppi abeljani]] lokalment kompatti jgħidulha d-[[dwalità ta’ta' Pontryagin]].

L-analisi armonika tistudja il-proprijetajiet ta’ta' din id-dwalità u tat-trasformata ta’ta' Fourier u l-estensjoni ta’ta' dawn il-karatteristiċi f’ambitif'ambiti differenti, per eżempju għall-[[grupp ta’ta' Lie|gruppi ta’ta' Lie]] mhux abeljani.

Fil-każ ta’ta' gruppi generiċi mhux abeljani u lokalment kompatti, l-analisi armonika għandha rabta qawwija mat-teorija tar-rappreżentazzjonijiet tal-gruppi unitarji. Fil-każ tal-gruppi kompatti, it-[[teorema ta’ta' Peter-Weyl]] jgħidilna kif nistgħu niksbu l-armoniċi billi nagħżlu rappreżentazzjoni irriduċibbli minn kull klassi ta’ta' ekwivalenza ta’ta' rappreżentazzjonijiet. Din l-għażla ta’ta' armoniċi tiret xi proprijetajiet utli tat-trasformata ta’ta' Fourier klassika, bħat-trasformazzjoni tal-konvoluzzjoni f’prodottf'prodott punt b’puntb'punt jew il-fatt li turi ċertu komprensjoni tal-istruttura sottostanti tal-grupp.

Jekk il-grupp ma jkunx la abeljan u lanqas kompatt, m’hemmm'hemm l-ebda teorija soddisfaċenti. B’B' "soddisfaċenti" nfissru li ''mill-inqas'' ikollna l-ekwivalenti tat-[[teorema ta’ta' Plancherel]]. Ma dan kollu ġew analizzati ħafna każi partikulari, per eżempju [[grupp linjari ġenerali|SL_''n'']]. F’dalF'dal-każ insibu li r-[[rappreżentazzjoni ta’ta' grupp|rappreżentazzjonijiet]] f’dimensjonijietf'dimensjonijiet infiniti għandhom post kruċjali.

==Friegħi Oħraoħra==

*L-istudju ta’ta' l-[[awtovettur u awtovalur|awtovaluri u awtovetturi]] tal-[[Laplacejan]] fuq [[Dominju (Matematika)|dominji]], [[varjetajiet]] u (ftit inqas) [[Graf|grafi]] hu meqjus ukoll bħala fergħa ta’ta' l-analisi armonika. Ara per eżempju [[Isma’Isma' l-forma ta’ta' tambur]].

* L-analisi armonika fuq spazji Ewklidej tħares lejn il-proprijetajiet tat-trasformata ta’ta' Fourier fuq '''R'''^''n'' li m’għandhomxm'għandhomx analogi fil-gruppi generiċi. Per eżempju, il-fatt li t-trasformata ta’ta' Fourier hi invarjanti bir-rotazzjoni. Id-dekompożizzjoni tat-trasformata fil-komponenti tagħha radjali u sferiċi tagħtina oġġetti bħall-[[funzjonijiet ta’ta' Bessel]] u l-[[armonika sferika|armoniċi sferiċi]].

* L-analisi armonika b'dominji tubi tiġġeneralizza l-proprietajiet ta’ta' l-i[[Spazji ta’ta' Hardy|spazjiispazji ta’ta' Hardy]] għal dimensjonijiet ogħla.

*Elias M. Stein and Guido Weiss, ''Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces'', Princeton University Press, 1971. ISBN 069108078X