|
Fil-[[matematika]], '''serje ta’ta' Fourier''' hi rappresentazzjoni ta’ta' [[funzjoni perjodika]] (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta’ta' somma ta’ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma
:<math> x\mapsto e^{{\rm i}nx} </math> ;
Imħabba l-[[formula ta’ta' Euler]], is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-[[Senu (trigonometrija)|senu]] u [[kosenu]].
Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż [[Joseph Fourier]] ([[1768]]-[[1830]]), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-[[serje (Matematika)|serje infiniti]] (qabel kienu l-oġġett ta’ta' investigazzjoni preliminari minn [[Euler]], [[Jean Baptiste Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] u [[Daniel Bernoulli]]). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni ta’ ltal-[[Ekwazzjonijiet differenzjali bid-derivati parzjali|ekwazzjoni tas-sħana]], u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-[[1807]] u fl-[[1811]] u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu ''Théorie analytique de la chaleur'' fl-[[1822]]. SkondSkont il-''punto di vista'' modern, ir-riżultati ta’ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, imħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta’ta' ''[[Funzjonijiet (Matematika)|funzjoni]]'' u ta' ''[[L-Integral|integral]]''. Kien biss wara n-nofs ta’ta' dak is-seklu li [[Dirichlet]] u [[Riemann]] irriformulaw ir-riżultati ta’ta' Fourier b’preċisjonib'preċisjoni ogħla u f’formaf'forma iżjed soddisfaċenti.
Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta’ta' trasformati marbutin ma’ma' dik ta’ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala [[sovrappożizzjoni]] ta’ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha [[Analisi Armonika|analisi armonika]].
== Definizzjoni ta’ta' serje ta’ta' Fourier ==
Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta’ta' varjabbli reali b’valurib'valuri komplessi <math>\,f\,</math> li hi perjodika b’perijodub'perijodu <math>\ 2 \pi</math> u b’kwadratb'kwadrat integrabbli fuq l-intervall <math>\,[0,2\pi]\,</math>. Niddefinixxu
:<math>F_n := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-{\rm i}nx}{\rm d}x.</math> .
F’dalF'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta’ta' Fourier ta’ta' <math>\,f\,</math> tingħata minn
:<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{{\rm i}nx}.</math>.
Kull wieħed mit-termini ta’ta' din is-somma ngħidulu '''mod ta’ta' Fourier'''. Fil-każ partikulari importanti fejn <math>\,f\,</math> hi funzjoni ta’ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità
:<math>e^{inx} \,=\, \cos(nx)+{\rm i}\sin(nx)</math>
biex nirrappreżentaw <math>\,f\,</math> ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta’ta' funzjonijiet tal-forma <math>\,\cos(nx)\,</math> u <math>\,\sin(nx)\,</math>, jiġifieri bħala
:<math>f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]</math> ,
:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi {\rm d}x\, f(x)\cos(nx) \quad\mbox{u}\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi {\rm d}x\, f(x)\sin(nx)</math> ;
din terġa’terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta’ta'
:<math>\,F_n = \frac{a_n - {\rm i} b_n}{2} \quad\mbox{u}\quad F_n = F_{-n}^*</math> .
== Eżempju ==
Nikkonsidraw il-funzjoni <math>\,f(x) = x\,</math>, il-[[funzjoni identità]] għal <math>\,x \in[-\pi,\pi]\,</math>. Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta’ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.
Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta’ta' Fourier ta’ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li <math>\,\cos(nx)\,</math> hi [[funzjoni żewġija]], waqt li l-''f'' u <math>\,\sin(nx)\,</math> huma [[funzjoni farrada|funzjonijiet farradin]].
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0</math>
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math>
Mela s-serje ta’ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:
:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math>
:<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math>
== Konvergenza tas-serje ta’ta' Fourier ==
Waqt li l-'''koeffiċjenti ta’ta' Fourier''' <math>\,a_n\,</math> u <math>\,b_n\,</math> nistgħu niddefinixxuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal <math>\,f(x)\,</math> jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta’ta' dik il-funzjoni.
Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta <math>\,f\,</math> hi [[funzjoni ta' kwadrat sommabbli|ta' kwadrat integrabbli]]; f’dakf'dak il-każ
:<math>\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N}
F_n\,e^{{\rm i}nx}\right|^2\,{\rm d}x=0</math>
(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma ta’ ltal-[[ispazju Lp|ispazju ''L''<sup>2</sup>]]).
Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f’puntf'punt mogħti ''x'', per eżempju jekk il-funzjoni tkun [[funzjoni differenzjabbli|differenzjabbli]] f’f'''x''. Anki diskontinwità b’qabżab'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin f’f'''x'', imbagħad is-serje ta’ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-[[fenomenu Gibbs]].
Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta’ta' Fourier ta’ta' funzjoni kontinwa tista’tista' ma tikkonverġiex punt punt.
== Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet ta' ltal-omomorfiżmu tal-''exp'' ==
Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi" <math>\,e^{{\rm i}kx}\,</math> huma [[omomorfiżmu|omomorfiżmi]] tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-[[grupp tal-ċirkonferenza]], hemm xi identitajiet utli:
:<math>g(x)=f(x-y) \,\!</math>
u niddenotaw b’b'''G'' it-trasformata ta’ta' ''g'', imbagħad
:<math>G_k \,=\, e^{-{\rm i}ky}F_k </math> .
* Jekk <math>\,H_k\,</math> hi it-trasformata ta’ta' <math>\,h = f * g \,</math>, imbagħad
:<math>H_k \,=\, F_k G_k </math> ,
jiġifieri t-trasformata ta’ta' Fourier ta’ta' [[konvoluzzjoni]] hi l-prodott tat-trasformati ta’ta' Fourier. Viceversa, jekk <math>\,h = fg\,</math>, imbagħad it-trasformata ta’ta' Fourier ''H'' ta’ta' ''h'' hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta’ta' Fourier ta’ta' ''f'' u ta’ta' ''g'':
:<math>H_k=\sum_{i=-\infty}^\infty F_i\, G_{k-i}</math> .
== Teorema ta’ta' Parseval ==
Proprijetà importanti oħra tas-serje ta’ta' Fourier hi t-[[teorema ta’ta' Parseval]], każ partikulari tat-[[teorema ta’ta' Plancherel]] u forma ta’ta' [[unitarju|unitarjetà]]:
:<math>\ ||F||^2= \sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,</math> .
<math>||F||^2:=</math> [[Norma (matematika)|Norma]] bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-[[enerġija tas-sinjal]]).
In partikulari għall-funzjoni ''f'' b’valurib'valuri reali:
:<math>\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx</math>.
L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta’ta' Fourier korrispondenti.
== Formulazzjoni ġenerali ==
Il-proprijetajiet tas-serje ta’ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet ta’ ltal-[[ortognalità]] u ta’ ltal-[[omomorfiżmu]] tal-funzjonijiet <math>\,e^{{\rm i}nx}\,</math>.
Ħafna suċċessjonijiet oħra ta’ta' [[funzjonijiet ortognali]] għandhom proprijetajiet simili; imma f’dawnf'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (per eż. Dawk li għandhom x’jaqsmux'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà ta’ ltal-omomorfiżmu.
Eżempji ta’ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta’ta' [[funzjonijiet ta’ta' Bessel]] u l-[[polinomji ortognali]]. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma’ma' soluzzjonijiet ta’ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa’wiesa' ta’ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-[[teorija ta’ta' Sturm-Liouville|problemi ta’ta' Sturm-Liouville]]. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet ta’ ltal-[[ekwazzjoni ta’ta' Schrödinger]] tal-[[mekkanika mewġija]].
== Paġni li għandhom x’jaqsmux'jaqsmu ==
* [[Trasformata ta' Fourier|Trasformata ta’ta' Fourier]]
* [[Analisi Matematika|Analisi armonika]]
* [[Fenomenu ta’ta' Gibbs]]
* [[Teorija ta’ta' Sturm-Liouville]]
*[http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Fourier_Series Fourier series example problems] in '''exampleproblems.com''' ▼*[http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun. ▼
== Bibljografija ==
* Yitzhak Katznelson (1976): ''An introduction to harmonic analysis'', Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0486633314
{{portal|Matematika}}
<div style="border: 1px solid #99b3ff; text-align: center; padding: 2px; background-color: #D8D9EB; font-size:125%; font-weight:bolder;">[[Image:P_math.png|48px|]][[Portal:Matematika|Portal tal-Matematika]]</div>
▲*[http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Fourier_Series FourierEżempji seriesta' exampleproblemi problemsta' Fourier] infuq '''exampleproblems.com '''
▲*[http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.
[[category:Matematika]]
| 