Serje ta' Fourier: Differenza bejn il-verżjonijiet

Content deleted Content added
m robot Modifying: ms:Siri Fourier
m robot Adding: nn:Fourierrekkje; kosmetiċi bidliet
Linja 1:
Fil-[[matematika]], '''serje ta' Fourier''' hi rappresentazzjoni ta' [[funzjoni perjodika]] (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma
 
:<math> x\mapsto e^{{\rm i}nx} </math> ;
Minħabba l-[[formula ta' Euler]], is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-[[Senu (trigonometrija)|senu]] u [[kosenu]].
 
Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż [[Joseph Fourier]] ([[1768]]-[[1830]]), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-[[serje (Matematika)|serje infiniti]] (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn [[Euler]], [[Jean Baptiste Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] u [[Daniel Bernoulli]]). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-[[Ekwazzjonijiet differenzjali bid-derivati parzjali|ekwazzjoni tas-sħana]], u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-[[1807]] u fl-[[1811]] u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu ''Théorie analytique de la chaleur'' fl-[[1822]]. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' ''[[Funzjonijiet (Matematika)|funzjoni]]'' u ta' ''[[L-Integral|integral]]''. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li [[Dirichlet]] u [[Riemann]] irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti.
 
Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala [[sovrappożizzjoni]] ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha [[Analisi Armonika|analisi armonika]].
Linja 10:
== Definizzjoni ta' serje ta' Fourier ==
 
Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi <math>\,f\,</math> li hi perjodika b'perijodu <math>\ 2 \pi</math> u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall <math>\,[0,2\pi]\,</math>. Niddefinixxu
 
:<math>F_n := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-{\rm i}nx}{\rm d}x.</math> .
Linja 18:
:<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{{\rm i}nx}.</math>.
 
Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu '''mod ta' Fourier'''. Fil-każ partikulari importanti fejn <math>\,f\,</math> hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità
 
:<math>e^{inx} \,=\, \cos(nx)+{\rm i}\sin(nx)</math>
Linja 37:
Nikkonsidraw il-funzjoni <math>\,f(x) = x\,</math>, il-[[funzjoni identità]] għal <math>\,x \in[-\pi,\pi]\,</math>. Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.
 
Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li <math>\,\cos(nx)\,</math> hi [[funzjoni żewġija]], waqt li l-''f'' u <math>\,\sin(nx)\,</math> huma [[funzjoni farrada|funzjonijiet farradin]].
 
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0</math>
Linja 62:
(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-[[ispazju Lp|ispazju ''L''<sup>2</sup>]]).
 
Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti ''x'', per eżempju jekk il-funzjoni tkun [[funzjoni differenzjabbli|differenzjabbli]] f'''x''. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin f'''x'', imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-[[fenomenu Gibbs]].
 
Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.
 
== Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-''exp'' ==
Linja 87:
== Teorema ta' Parseval ==
 
Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-[[teorema ta' Parseval]], każ partikulari tat-[[teorema ta' Plancherel]] u forma ta' [[unitarju|unitarjetà]]:
 
:<math>\ ||F||^2= \sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,</math> .
 
<math>||F||^2:=</math> [[Norma (matematika)|Norma]] bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-[[enerġija tas-sinjal]]).
In partikulari għall-funzjoni ''f'' b'valuri reali:
 
Linja 101:
 
Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal-[[ortognalità]] u tal-[[omomorfiżmu]] tal-funzjonijiet <math>\,e^{{\rm i}nx}\,</math>.
Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' [[funzjonijiet ortognali]] għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (per eż. Dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.
 
Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' [[funzjonijiet ta' Bessel]] u l-[[polinomji ortognali]]. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-[[teorija ta' Sturm-Liouville|problemi ta' Sturm-Liouville]]. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-[[ekwazzjoni ta' Schrödinger]] tal-[[mekkanika mewġija]].
 
== Paġni li għandhom x'jaqsmu ==
* [[Trasformata ta' Fourier|Trasformata ta' Fourier]]
* [[Analisi Matematika|Analisi armonika]]
* [[Fenomenu ta' Gibbs]]
Linja 112:
 
== Bibljografija ==
* William E. Byerly (1893): ''[http://www.archive.org/details/elemtreatfour00byerrich An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics]'' Ginn &amp; Company.
* Horatio S. Carslaw (1921): ''[http://www.archive.org/details/introductiontoth00carsrich Introduction to the theory of Fourier's series and integrals]'', Macmillan &amp; co., ltd.
* E. W. Hobson (1926): ''[http://www.archive.org/details/theoryoffunction032497mbp The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2], Cambridge University Press.
* Antoni Zygmund (1935): ''[http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=5&wyd=10&jez= Trigonometrical series], Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
* Yitzhak Katznelson (1976): ''An introduction to harmonic analysis'', Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 04866333140-486-63331-4
 
== Ħoloq esterni ==
{{portal|Matematika|P_math.png}}
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Fourier_Series Eżempji ta' problemi ta' Fourier] fuq exampleproblems.com
* [http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.
 
[[categoryKategorija:Matematika]]
 
[[ar:متسلسلة فورييه]]
Linja 148:
[[ms:Siri Fourier]]
[[nl:Fourierreeks]]
[[nn:Fourierrekkje]]
[[pl:Szereg Fouriera]]
[[pt:Série de Fourier]]